Questão resolvida - Qual o volume sólido limitado pelo paraboloide x² + y² + z = 12 e pelo plano z = 8_ - usando integral tripla - Cálculo II ou III - PITÁGORAS

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Qual o volume sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano ?x² + y² + z = 12 z = 8
 
Resolução:
 
O sólido é limitado superiormente por: e inferiormente pelo plano . O x² + y² + z = 12 z = 8
volume em coordenadas cilíndricas é dado por:r,𝜃, z( )
V = 1rdzdrd𝜃∫
𝜃=b
𝜃=a
∫
r=g 𝜃2( )
r=g 𝜃1( )
∫
f 𝜃,r2( )
f 𝜃,r1( )
 
A primeira integração tem limite inferior e superior em função de e r. O limite inferior a ser 𝜃
substituído é 8, uma constante que não gera qualquer qualquer problema na integral, 
entretanto, o limite superior deve sair da expressão do paraboloide , x² + y² + z = 12
verifique que está expressão está em função (além de z) de x e y, isso é incompatível na 
integral, dessa forma, teremos que fazer uma substituição para possibilitar a solução da 
integral; sabemos que a equação que descreve um círculo qualquer é dada por:
x² + y² = r²
 Fazendo essa substituição todos as variáveis e os limites de integração estrão em 
coordenadas cilíndricas, com isso, o limite superior fica:
x² + y² + z = 12 r² + z = 12 z = 12- r²→ →
 
Agora, vamos igualar as expressões que representam o plano e o novo limite superior do 
sólido para encontrar os limites de integração e ;g 𝜃1( ) g 𝜃2( )
8 = 12- r² -r² = 8- 12 -r² = -4 r² = 4 r = ± r = ±2→ → → → 4 →
Assim, a intercessão entre o paraboloide e o plano é um círculo de raio 2;
 
 
Com isso, as seções do sólido que queremos encontrar o volume são círculos de raio r 
 
 
variando de 0 a 2, sendo esses os valores de e respectivamente. Os limites de g 𝜃1( ) g 𝜃2( )
integração devem variar de 0 até , varendo, assim, todo o círculo que delimita o sólido. 𝜃 2𝜋
Finalmente, nossa integral tripla que representa o volume so sólido fica:
V = rdzdrd𝜃 V = rz drd𝜃 V = r 12- r²- 8 drd𝜃
0
∫
2𝜋 2
0
∫
8
∫
12-r²
→
0
∫
2𝜋 2
0
∫
12-r²
8
→
0
∫
2𝜋 2
0
∫ ( )
 
V = r 4- r² drd𝜃 = 4r - r³ drd𝜃 = 2r²- d𝜃
0
∫
2𝜋 2
0
∫ ( )
0
∫
2𝜋 2
0
∫ ( )
0
∫
2𝜋 r
4
4 2
0
 
V = 2 2 ²- - 2 ⋅ 0- d𝜃 = 2 ⋅ 4- d𝜃 = 8- 4 d𝜃
0
∫
2𝜋
( )
2
4
( )4 0
4
( )4
0
∫
2𝜋 16
4 0
∫
2𝜋
( )
 
V = 4d𝜃 V = 4𝜃 V = 4 ⋅ 2𝜋- 4 ⋅ 0 V = 8𝜋 u. v.
0
∫
2𝜋
→
2𝜋
0
→ ( ) →
 
 
 
(Resposta)