Questão resolvida - Um contêiner para estocagem retangular, sem tampa, deve ter capacidade de 5.000 litros, ou seja, um volume de 5 m³ ... - Cálculo I - FAM

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Um contêiner para estocagem retangular, sem tampa, deve ter capacidade de 5.000 
litros, ou seja, um volume de 5 m³ (lembrem-se que 1 m³ equivale a 1000 litros). O 
comprimento de sua base é o dobro de sua largura. O material para a base custa 
R$2,00 por metro quadrado e o material para o lado custa R$5,00 por metro 
quadrado. Encontre as dimensões x e h do mais barato de tais contêineres. Em 
seguida, calcule o seu custo de fabricação.
 
Resolução:
 
Seja as medidas da base do contêiner em função de x podem ser vistos na figua abaixo:
 
A área da base do contêiner é: Ab A = 2x ⋅ x A = 2xb → b 2
 
A área lateral do contêiner é: A = 2 ⋅ 2x ⋅ h + 2 ⋅ x ⋅ h A = 4xh + 2xh A = 6xhL → L → L
 
O custo C de produção do contêiner é dado por: 
 
C = 2 ⋅A + 5 ⋅A C = 2 ⋅ 2x + 5 ⋅ 6xh C = 4x + 30xhb L →
2
→
2
 
Podemos colocar h em função de x usando o volume do contêiner;
V = 2x ⋅ h 5 m³ = 2x ⋅ h 2x ⋅ h = 5 h =2 → 2 → 2 →
5
2x2
 
Substituindo em C;
 
C = 4x + 30x ⋅ C = 4x + C = 4x +2
5
2x2
→
2 150
2x
→
2 75
x
 
 
x
2x
contêiner
 
Para achar os pontos críticos de C, devemos fazer sua derivada C' e igualar a zero :
 
C = 4x + C = 4x + 75x C' = 2 ⋅ 4x + -1 ⋅ 75x C' = 8x -2
75
x
→
2 -1
→ ( ) -2 →
75
x2
C' = 0 8x - = 0 8x = 8x ⋅ x = 75 8x = 75→
75
x2
→
75
x2
→
2
→
3
 
x = x = 9, 38 x = x ≅ 2, 12 m3
75
8
→
3
→ 9, 38 →
 
Se x = 1, C' = 8 1 - < 0 Não é preciso fazer todo o calculo!( )2
75
1( )2
→ ( )
 
Se x = 3, C' = 8 ⋅ 3 - C' = 24 - C' = C' =( )
75
3( )2
→
75
9
→
216 - 75
9
→
141
9
C' = > 0
47
3
 
Logo, o valor mínimo se dá quando x = 2, 12 m, substituindo na relação encontrada com
o volume do contêiner, encontramos o valor mínimo para h;
 
h = h = h ≅ 0, 56 m
5
2x2
→
5
2 ⋅ 2, 12 ( )2
→
 
Assim, as dimensões de x e h para um menor custo de fabricação do contêiner são :
 
 x = 2, 12 m e h = 0, 56 m
 
O custo para produzir 1 contêiner com essas dimensões é :
 
C = 4 ⋅ 2, 12 + C ≅ R$ 53, 35 ( )2
75
2, 12
→
 
 
 
3
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)