1) Seja f (x) = ∞∑k=1 xk / 2kk2 a) Determine o doḿınio de convergência de f . b) Determine f ′ e o seu doḿınio de convergência. a) Determine o ...

1) Seja f (x) = ∞∑k=1 xk / 2kk2
a) Determine o doḿınio de convergência de f .
b) Determine f ′ e o seu doḿınio de convergência.
a) Determine o doḿınio de convergência de f .
b) Determine f ′ e o seu doḿınio de convergência.

Edo Calculo III

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26/10/2023

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Edo Calculo III • USP - LorenaUSP - Lorena

RICARDO BRANDAO

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26.10.2023

a) Para determinar o domínio de convergência de f(x), podemos utilizar o critério da razão de Cauchy. Assim, temos: lim |(x^(k+1) / 2^(k+1)(k+1)^2) / (x^k / 2^k k^2)| = lim |x / 2(k+1)^2| = |x|/4 Portanto, a série converge para |x| < 4. b) Para determinar f'(x), podemos derivar termo a termo a série que define f(x). Assim, temos: f'(x) = ∞∑k=1 kx^(k-1) / 2^k k^2 = ∞∑k=1 x^(k-1) / 2^k k Novamente, podemos utilizar o critério da razão de Cauchy para determinar o domínio de convergência de f'(x): lim |((x^(k-1) / 2^k k) / (x^(k-2) / 2^(k-1) (k-1)))| = lim |x / 2k| = |x|/2 Portanto, f'(x) converge para |x| < 2.

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