Questão 4 [2,0 pontos] Seja W o sólido limitado pelas superf́ıcies x2 +y2 +z2 = 3 e x2 +y2 +z2 = 12, cuja densidade em (x, y, z) é dada por δ(x,...

Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo z, precisamos integrar a expressão (x² + y²)δ(x,y,z) em relação ao volume do sólido W. Usando coordenadas esféricas, temos que a densidade δ(x,y,z) pode ser escrita como 2/3ρ^3, onde ρ é a distância do ponto (x,y,z) à origem. Além disso, x² + y² pode ser escrito como ρ²sen²θ, onde θ é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z. Assim, temos que Iz = ∫∫∫W (x² + y²)δ(x,y,z) dV = ∫∫∫W ρ²sen²θ * 2/3ρ³ * ρ²senθ dρdθdφ. Integrando em relação a φ, obtemos 2π como resultado. Integrando em relação a ρ, temos: Iz = 2π * ∫(3→√12) ∫(0→π) ∫(0→2π) ρ^4sen³θ dφdθdρ * 2/3 Resolvendo as integrais, chegamos a: Iz = 32π/5 Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo z é 32π/5.