Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor d...

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força F, podemos utilizar a fórmula: W = ∫ F . dr Onde F é o campo de força e dr é o vetor deslocamento. Como a partícula se move ao redor da borda da esfera de raio 2 no primeiro octante, podemos parametrizar a trajetória da partícula como: r(t) = (2cos(t), 2sen(t), 2√2) Onde 0 ≤ t ≤ 2π. O vetor deslocamento é dado por: dr = (-2sen(t), 2cos(t), 0) dt Assim, podemos calcular o trabalho como: W = ∫ F . dr = ∫ (xx + z^2, yy + x^2, zz + y^2) . (-2sen(t), 2cos(t), 0) dt Como a trajetória é no primeiro octante, temos x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0. Substituindo as coordenadas paramétricas na expressão do campo de força, temos: F = (4cos^3(t) + 8√2, 4sen^3(t) + 4cos^2(t), 8√2 + 8sen^2(t)) Assim, podemos calcular o trabalho como: W = ∫ F . dr = ∫ (4cos^3(t) + 8√2, 4sen^3(t) + 4cos^2(t), 8√2 + 8sen^2(t)) . (-2sen(t), 2cos(t), 0) dt W = ∫ (-8sen(t)cos^3(t) - 16√2sen(t) + 8cos^3(t)cos(t) + 8√2cos(t), -8sen^3(t)cos(t) + 8sen^3(t)cos(t) + 8cos^2(t)cos(t), 0) dt W = ∫ (8cos^4(t) - 8sen^4(t) + 8√2cos(t), 8cos^3(t)sen(t) + 8cos(t)sen(t), 0) dt W = ∫ 8(cos^4(t) - sen^4(t) + √2cos(t)) dt W = 8[sen(t)cos(t) - (1/3)sen^3(t) + √2sen(t)]_0^(2π) W = 8[0 - 0 + √2 - 0 - 0 + √2] = 16√2 Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força F é 16√2.