Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Nenhuma das respostas anteri...

Para calcular a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y sobre a região D limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x², podemos utilizar a seguinte expressão: ∬(D) f(x,y) dA = ∫(a to b) ∫(g(x) to h(x)) f(x,y) dy dx Onde a e b são os limites de integração em x e g(x) e h(x) são os limites de integração em y. Para encontrar os limites de integração em x, igualamos as duas equações das parábolas e resolvemos para x: 2x² = 1 + x² x² = 1 x = ±1 Portanto, os limites de integração em x são -1 e 1. Para encontrar os limites de integração em y, podemos isolar x em cada equação das parábolas: y = 2x² x = ±√((y/2)) y = 1 + x² x = ±√((y-1)) Como a região D é limitada pelas duas parábolas, os limites de integração em y são as equações dessas parábolas. Então, temos: g(x) = 2x² h(x) = 1 + x² Substituindo na expressão da integral dupla, temos: ∬(D) f(x,y) dA = ∫(-1 to 1) ∫(2x² to 1 + x²) (x + 2y) dy dx Resolvendo a integral em y, temos: ∫(2x² to 1 + x²) (x + 2y) dy = xy + y² |(2x² to 1 + x²) = x(1 + x²) + (1 + x²)²/2 - 2x²(2x²) - 2(2x²)²/2 = x(1 + x²) + (1 + x²)²/2 - 4x^4 - 4x^4 = x(1 + x²) + (1 + x²)²/2 - 8x^4 Substituindo na expressão da integral dupla, temos: ∬(D) f(x,y) dA = ∫(-1 to 1) [x(1 + x²) + (1 + x²)²/2 - 8x^4] dx Resolvendo a integral em x, temos: ∫(-1 to 1) [x(1 + x²) + (1 + x²)²/2 - 8x^4] dx = [x²/2 + x^4/4 + x(1 + x²) - 8x^5/5] |(-1 to 1) = 1/2 + 1/4 + 2 - 8/5 - (-1/2 + 1/4 - 2 + 8/5) = 36/5 Portanto, a resposta correta é 36/5.