Questão 1 [1,5 ponto] Calcule a integral I = ∫∫D 10/3 (x+ 4y)−2 dx dy onde D é a região limitada pelas retas y = x, y = x4 , y = 1 e y = 4. Solu...

Questão 1 [1,5 ponto] Calcule a integral I = ∫∫D 10/3 (x+ 4y)−2 dx dy onde D é a região limitada pelas retas y = x, y = x4 , y = 1 e y = 4. Solução: A região D está ilustrada na Fig. 1. Descrição de D como uma região do tipo II: D : 1 ≤ y ≤ 4 , y ≤ x ≤ 4y. Assim, I = 10/3 ∫ 4 1 ∫ 4y y (x+ 4y)−2 dx dy = 10/3 ∫ 4 1 [(x+ 4y)−1 −1]4y y dy = −10/3 ∫ 4 1 [(8y)−1 − (5y)−1 ] dy = 10/3 ∫ 4 1 (1/5 − 1/8 ) dy = 10/3 3/40 [ln y ]4 1 = 1/4(ln 4− ln 1) = 1/4 ln 4 = 1/4 ln 4 = ln 2/2 . Ou seja, I = ln 2/2 .