Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x³, y = 8 e x = 0 em torno do eixo y. Acerca do resultado, assinale a...

Para determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x³, y = 8 e x = 0 em torno do eixo y, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Utilizando o método das cascas cilíndricas, temos: - O raio de cada casca é dado por r = x; - A altura de cada casca é dada por h = 8 - x³; - O intervalo de integração é de 0 a 2, já que y = 8 é a reta que delimita a região. Assim, temos: V = ∫0² 2πrh dx V = ∫0² 2πx(8 - x³) dx V = 2π ∫0² (8x - x⁴) dx V = 2π [4x² - (1/5)x⁵] de 0 a 2 V = 2π [(4(2)² - (1/5)(2)⁵) - (4(0)² - (1/5)(0)⁵)] V = 2π [(16/5) - 0] V = 32π/5 Portanto, a alternativa correta é a letra D) 32π/5.