Questão 3 [3,0 pts]: Considere a função f (x) = 3x p x2 −9 e faça os seguintes itens: a) [1,0 pts] Determine as assíntotas verticais. b) [1,0 p...
f (x) =
3x
p
x2 −9
e faça os seguintes itens:
a) [1,0 pts] Determine as assíntotas verticais.
b) [1,0 pts] Determine as assíntotas horizontais.
c) [1,0 pts] Esboce o gráfico da função.
Solução:
a) Para determinar as candidatas a assíntotas verticais do gráfico de f(x), precisamos encontrar números
b tais que os limites
lim
x→b+
f (x) ou lim
x→b−
f (x)
sejam iguais a . Para que isso ocorra, buscamos primeiramente que o número torne o+∞ ou −∞ b
denominador de ) nulo ( tais valores não estarão no domínio def (x f (x)). No caso da função f (x) =
3xp
x2−9
, precisamos que
p
x2 −9 = 0. Logo, 3.x =±
Esses dois valores de 3 e 3 são apenas candidatos. Precisamos calcular os limitesx = x =−
lim
x→3+
f (x), lim
x→3−
f (x), lim
x→−3+
f (x) e lim
x→−3−
f (x).
Para facilitar o entendimento, observe o gráfico da função 9.g (x) = x2 −
Observamos que x2 −9 → 0+, quando x → 3+. Portanto, o denominador e também o
p
x2 −9 → 0+
numerador 3x → 9 quando . Donde concluímos que o primeiro limitex → 3+
lim
x→3+
3x
p
x2 −9
=+∞.
Analogamente,
lim
x→−3−
3x
p
x2 −9
=−∞.
Ainda precisamos calcular lim
x→3−
3x
p
x2 −9
e lim
x→−3+
3x
p
x2 −9
, mas ambos limites não estão definidos, pois
o intervalo [ 3,3] não está no domínio da função, visto que não existe 9 é nega-−
p
x2 −9, quando x2 −
tivo.
De todo exposto acima, concluímos que as retas 3 e 3 são as assíntotas verticais.x = x =−
b) Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites
lim
x→+∞
f (x) e lim
x→−∞
f (x).
Observe que lim
x→+∞
3x
p
x2 −9
= lim
x→+∞
3x
q
x2(1− 9
x2 )
= lim
x→+∞
3x
p
x2
= lim
x→+∞
3x
|x|
= lim
x→+∞
3x
x
= 3. Na última
igualdade usamos que , pois 0.|x| = x quando x →+∞ x >
Por outro lado, lim
x→−∞
3x
p
x2 −9
= lim
x→+∞
3x
|x|
= lim
x→+∞
3x
−x
=−3. Na ú
a) Determine as assíntotas verticais.
b) Determine as assíntotas horizontais.
c) Esboce o gráfico da função.
Essa pergunta também está no material:
💡 1 Resposta
Ed 
Para a função f(x) = 3x / √(x² - 9), temos: a) Para determinar as assíntotas verticais, precisamos encontrar os valores que tornam o denominador igual a zero, pois esses valores não pertencem ao domínio da função. Assim, temos que x² - 9 = 0, o que implica em x = 3 e x = -3. Portanto, as retas x = 3 e x = -3 são as assíntotas verticais da função. b) Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites da função quando x tende a infinito e menos infinito. Temos que: lim x → ±∞ 3x / √(x² - 9) = lim x → ±∞ 3 / √(1 - 9/x²) Como x tende a infinito, temos que 1/x² tende a zero, e assim, temos que: lim x → ±∞ 3 / √(1 - 9/x²) = lim x → ±∞ 3 / √1 = 3 Portanto, a reta y = 3 é a assíntota horizontal da função. c) Para esboçar o gráfico da função, podemos começar analisando o comportamento da função nos intervalos (-∞, -3), (-3, 3) e (3, ∞). No intervalo (-∞, -3), a função é negativa e tende a zero quando x tende a -∞. No intervalo (-3, 3), a função é indefinida, pois o denominador é negativo. No intervalo (3, ∞), a função é positiva e tende a zero quando x tende a infinito. Além disso, podemos observar que a função é simétrica em relação ao eixo y, pois f(-x) = f(x). Assim, podemos esboçar o gráfico da função como uma curva que se aproxima das assíntotas verticais x = 3 e x = -3, e da assíntota horizontal y = 3, e que é negativa no intervalo (-∞, -3) e positiva no intervalo (3, ∞). No intervalo (-3, 3), a função não está definida.
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