Seja o campo vetorial . Determine a integral de linha deste campo vetorial em relação a curva desde o ponto inicial ( 3,1,3) até o ponto final (5,...

Para calcular a integral de linha de um campo vetorial conservativo, podemos utilizar o Teorema de Green. O teorema de Green estabelece que a integral de linha de um campo vetorial conservativo ao longo de uma curva fechada é igual à integral dupla do rotacional do campo vetorial sobre a região limitada pela curva. No entanto, como a curva dada não é fechada, podemos utilizar a definição da integral de linha para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva. A integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva C é dada por: ∫C F · dr = ∫a^b F(r(t)) · r'(t) dt onde r(t) é a parametrização da curva C, a ≤ t ≤ b. Para calcular a integral de linha do campo vetorial F = (10e2 − 17e, 27e3 − 100e2, 50e3 − 37e2) ao longo da curva que vai do ponto (3,1,3) até o ponto (5,2,2), podemos parametrizar a curva como: r(t) = (3 + 2t, 1 + t, 3 - t), 0 ≤ t ≤ 1 Então, temos: r'(t) = (2, 1, -1) F(r(t)) = (10(3 + 2t)² − 17(3 + 2t), 27(3 + 2t)³ − 100(3 + 2t)², 50(3 + 2t)³ − 37(3 + 2t)²) Substituindo na fórmula da integral de linha, temos: ∫C F · dr = ∫0^1 F(r(t)) · r'(t) dt ∫0^1 [(10(3 + 2t)² − 17(3 + 2t))(2) + (27(3 + 2t)³ − 100(3 + 2t)²)(1) + (50(3 + 2t)³ − 37(3 + 2t)²)(-1)] dt Resolvendo a integral, obtemos: ∫C F · dr = 104/3 Portanto, a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva que vai do ponto (3,1,3) até o ponto (5,2,2) é igual a 104/3.