Integral de Linha de Campo Vetorial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Matheus Fonseca de Souza Prata
Intregral de linha de Campo Vetorial
Belém
2016
1
1 Resumo
Integral de linha um ramo do cálculo matemático importante em diversos se-
guimentos da física, engenharia e etc. Neste trabalho abordaremos sobre integral de
linha em campos vetoriais, ponto importante para calcular por exemplo: trajetória de
partículas, calcular o trabalho de uma força em um deslocamento, fluxos elétricos e
eletromagnéticos, dentre outros.
Ferramenta útil para cálculos quando não se tem um função retilínea, ratificando
que integrais são geralmente usadas para se obter informações de curvas tais como:
volume, área, comprimento etc. Abordaremos sobre a teoria dessas integrais e seus
teoremas, Teorema de Green, Teorema de Stokes, Teorema de Gauss(Teorema da
Divergência), e claro suas aplicações na física e engenharia.
Palavras Chave: Integral de Linha, Campo Vetorial, Teorema de Green, Teorema
de Stokes, Teorema de Gauss
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2 Integral de Linha de Campo Vetorial
Integral de linha de campo vetorial é de suma importância para cálculos na física
e engenharia, para se calcular o trabalho de uma força em deslocamento curvilíneo, na
termodinâmica, determinar fluxos elétricos e etc.
Diferentemente de uma integral unidimensional em que se integra sobre um
intervalo, será integrado sobre uma curva já que os objetivos são extrair informações
da mesma. Apresentando alguns conceitos sobre a integral de linha. Seja C uma curva
unindo dois pontos A e B, definida parametricamente por:
(1.1) x = x(t) y = (t) a ≤ t ≤ b
Consideremos em C os pontos A = P0, P1,. . . , Pi-1, Pi, . . . ,Pn = B, corres-
pondentes a uma partição do intervalo [a, b], seja ainda f (x, y, z) um campo escalar
continuo definido num domínio D ⊂3 contendo a curva C e suponhamos ainda que a
função f (x, y, z) é positiva em D, ou seja, f (x, y, z) ≥ 0, ∀ (x, y, z) ∈ D.
Seja Q um ponto arbitrário escolhido no arco-1em que o comprimento deste
arco é dado por si. Ao calcularmos o valor de f (Q) e multiplicando por si, temos então,∑n
i=1 (Q) =1 si
Definindo a integral de linha de (x, y, z)ds ao longo da curva C é o limite
desse somatório quando o número n de subdivisões se aproxima do infinito fazendo o
comprimento de cada arco tender a zero:
(1.2)
∫
cf(x, y, z) ds= limn→∞
∑n
i=1f(x, y, z) si
Sabe-se que o comprimento da curva é dado por:
.(1.3)L =∫ ba
√
dx
dt
2 + dydt
2 − dzdt
2
dt
Se f é uma função contínua então o limite de f(x, y, z) ds sempre existe e a
seguinte fórmula poderá ser usada para calcular a integral de linha:
(1.4)
∫
cf(x, y, z)=
∫ a
b f(x(t), y(t), z(t))
∫ b
a
√
dx
dt
2 + dydt
2 − dzdt
2
dt
3
3 Teorema de Green
Este teorema é um dos mais clássicos na contribuição da análise do cálculo
vetorial, sendo utilizado em muitas áreas da engenharia como ferramenta na precisão
de cálculos, como por exemplo no planímetro, aparelho utilizado para medir a área de
regiões planas e irregulares com grande precisão.
Defini-se uma região fechada e limitada D ⊂ R 2 é simples se ∂D = C é uma
curva fechada simples. A curva C = ∂D está orientada positivamente se é percorrida no
sentido anti-horário.
Aplicando o teorema, sejam A ⊂ R 2 um conjunto aberto, D uma região simples,
C = ∂D orientada positivamente, tal que D ⊂ A e F : A -→ R 2 um campo de vetores de
classe C 1 , com funções coordenadas (F1, F2). Se C = ∂D tem uma parametrização
de classe C 1 por partes e está orientada positivamente em relação a D, então:∮
∂DF = ∫ ∫ [∂F2∂x − ∂F1∂y ]dxdy
Segundo o teorema de Green, se F é um campo conservativo, então:∮
∂DF = 0
E a área da região D é dada pr:
A(D) = ∮ ∂Dxdy ou,
A(D) = − ∮ ∂Dydx ou,
A(D) = 12
∮
∂Dxdy − ydx
Provando, basta considerar o campo F(x,y)=(-x,y) e aplicando o teorema de
Green assim obtendo:
A(D) = 12
∮
∂Dxdy − ydx
O teorema de Stokes é uma versão vetorial do teorema de Green.
Define-se
4
4 Teorema de Stokes
O teorema de Stokes é uma versão vetorial do teorema de Green.
Define-se que seja K ⊂ R2 um conjunto fechado e limitado, com interior não
vazio, cuja fronteira ∂K é uma curva fechada, simples e regular ou regular por partes.
Se S = r (K) é uma superfície regular, simples, com r ∈ C1 (K), definimos o bordo de
S (fronteira) como sendo a imagem por r da fronteira de K, isto é ∂S = r (∂K). Sendo
assim:
γ : [a, b]→ R2, γ (t)=(u (t), v (t)),
é uma parametrização de ∂K, então uma parametrização de ∂S é dada por:
Γ : [a, b]→ R3 , Γ (t) = r (γ (t)) = r (u (t), v (t)).
Vejamos agora como orientar o bordo de uma superfície S : Seja n um vetor
normal unitário de S. Sabemos que se N (u, v) denota o produto vetorial fundamental,
então:
n = N(u,v)||N(u,v)|| ou n = − N(u,v)||N(u,v)||
A escolha de n induz a uma orientação em Γ da seguinte forma: consideramos
TΓ e NΓ os vetores tangente e normal unitários de Γ tais que NΓ “ aponta ” para a
superfície S e a terna ordenada {TΓ, NΓ, n} é uma terna positiva.
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5 Teorema de Gauss
Também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona o fluxo com o
campo vetorial através de uma superfície pelo comportamento do campo vetorial dentro
da superfície, é um caso especial do Teorema de Stokes. Teorema de Gauss utilizado
principalmente em áreas como eletrostática, dinâmica de fluidos e etc.
Defini-se que seja→−→F : Ω ⊆ R2→ R2, Ω aberto, um campo vetorial contınuo.
Seja γ : [a,b] → Ω uma curva de classe C1, regular e injetora dada por γ(t) = (x(t),y(t)).
A integral:
(2.1)
∫
γ
−→
F .−→n ds = ∫ ba(−→F (−→γ (t)).−→n (−→γ (t))).||−→γ ť(t)||dt
onde:
(2.2) −→n (γ(t)) = yť(t)
−→
e1−xť(t)−→e2
||γť(t)||
é chamada de taxa de vazão ou uxo do campo vetorial
−→
F através de γ, na
direção−→n .
Seja
−→
k um vetor unitario, normal a Ω, e cujo sentido e a do leitor. O vetor−→n (γ(t)) na equação 2, pode ser expresso na forma:
(2.3) −→n (γť(t)) = −→γ ť(t)×
−→
k
||−→γ ť(t)||
O vetor −→γ ť(t) × −→k e, portanto, −→n (γ(t)), é normal−→γ ť(t) em cada ponto−→γ (t) da curva, isto é, −→γ ť(t).−→n = 0. Além disso, caminhando sobre a curva na
orientaçao antihorária, o sentido de−→n é o do lado direito. Assim, se γ for uma curva
fechada, orientada no sentido anti-horário,−→n é normal à curvaγ. A diferencial ds é a
diferencial da função comprimento de arco de γ(t) dada por:
(2.4)s(t) = ∫ ta ||γť(θ)||dθ
Então, ds = ||γť(t)||dt .
Definindo-se o teorema da divergência que seja F : Ω ⊆ R2 → R2, com Ω
aberto do →- R2, simplesmente conexo, um campo vetorial de classe C1(Ω), dado
por
−→
F = P (x, y), Q(x.y)). Seja K um conjunto fechado e limitado contido em Ω, de
interior não vazio, limitado por uma curva fechada γ(t), regular, simples e de classe C1
com orientação anti-horáia.Então:
(2.5)
∮
γ
−→
F .−→n ds = ∫ ∫k div−→F dxdy
onde−→n é dado pela equação (2.2)
Tendo pela equação (2.1) que:
Capítulo 5. Teorema de Gauss 6
∮
γ
−→
F .−→n ds = ∫ ba(−→F (γ(t)).−→n (γ(t))).||γť(t)||dt
De acorodo com (2.2):∮
γ
n!
k!(n−k)! .
−→n ds = ∫ ba −→F (γ(t)).[ 1||γť(t)||(γť(t)−→e1−xť(t)−→e2)]||γť(t)||dt
Segue-se que:
(2.6)
∮
γ
−→
F .nds = ∫ ba [P (γ(t))γť(t) − Q(γ(t))xť(t)]dt =∮
γ −Qdx+ Pdy
Aplicando o Teorema de Green neste resultado:
(2.7)
∮
γ
−→
F .−→n .ds = ∮ −Qdx + Pdy = ∫ ∫k(∂P∂x + ∂Q∂y )dxdy =∫ ∫
k div
−→
F dxdy.
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6 Aplicações
Como mencionado anteriormente a integral de linha de campo vetorial tem
diversas aplicações nas áreas de engenharia e física, abaixo são mostrada algumas.
1.Cálculo do Trabalho de uma força em um deslocamento curvilíneo.
Seja C uma parte de um parábolay = x2 entre os pontos no plano a e b. Se−→
F (x, y) = −yi + xj é uma força que atua em (x,y), onde devemos encontrar o
trabalho realizado po
−→
F ao longo de C.
Parametrizando C tem-se:
x = t, y =2 e atb
Tem-se:−→r (t) = t−→i +2 −→j
−→r () = −→i + 2t−→j
−→
F (−→r (t)) = −2−→i +−→j∫
c
−→
F .dr = ∫ ba −→F (−→r (t)).−→r ť(t)dt
2.Planímetro(uso do Teorema de Green).
Aparelho inventado e 1854 pelo matemático Jacob Amsler,um instrumento
mecânico capaz de fazer medidas de áreas de regiões planas limitadas, muito útil em
regiões irregulares, com ele pode se calcular com precisão essas áreas.
Mecanicamente, o Planímetro tem uma construção muito simples, possui dois
braços de tamanhos iguais ou podem ser de tamanho diferente, ambos feito de metal.
Os braços são capazes de variar o ângulo entre eles, desde 0º a 180º graus. Na
extremidade de um dos braços, temos uma ponta que pode ser fixada na superfície
plana. Na outra ponta temos uma rodinha que gira perpendicularmente ao braço na
qual é fixada. Na ponta dessa rodinha temos um contador, que mede o número de
voltas que ela dá quando a ponta móvel do instrumento se desloca sobre o contorno
da figura plana a ser medida. Quando a ponta se desloca sobre todo o contorno da
figura plana fechada, o contador indicará a área cercada pela curva.
Então para o funcionamento do Planímetro é necessário sabermos o compri-
mento dos braços, o diâmetro da rodinha colocada perpendicularmente ao braço móvel
e o número de voltas dada pela rodinha, que é marcado pelo contador ao percorrer
a curva fechada C no sentido anti-horário, essas medidas são dadas pelas variáveis
r para comprimento dos braços, d para diâmetro e k o número de voltas dada pela
Capítulo 6. Aplicações 8
rodinha. O campo determinado pelo Planímetro é F(x,y)=(f,g).
kpil = ∫c fdx+ gdy = 12 .C e C = kpidr
3. Aplicaçôes Matemáticas da Lei de Gauss
Forma integral e diferencial de leis físicas
A partir da aplicação do teorema da divergência, uma série de leis físicas que
envolvem campos vetoriais pode ser apresentada de duas formas distintas. Uma delas
é a sua forma integral e outra a forma diferencial. No primeiro caso, o fluxo de uma
grandeza através de uma superfície fechada é igual à uma outra quantidade. Na forma
diferencial, por outro lado, uma grandeza é igual ao divergente de outra. Bons exemplos
dessa aplicação são as leis de Gauss para eletrostática, magnetismo e gravidade.
Equações de continuidade
Equações de continuidade são igualdades que descrevem matematicamente
a conservação de grandezas como massa, momento, carga elétrica, probabilidade e
energia. O teorema da divergência estabelece que tais equações podem também ser
escritas de duas formas, uma integral e outra diferencial. Genericamente, em campos
como a dinâmica de fluídos, electromagnetismo, mecânica quântica e relatividade geral,
estas igualdades estabelecem que o divergente do fluxo de uma grandeza conservada
é igual à distribuição de fontes e sumidouros de tal grandeza no campo vetorial em
questão. Resumidamente, o teorema da divergência afirma que qualquer equação de
continuidade, tal como explanado, pode ser escrita de forma diferencial, em termos do
divergente do campo, ou de forma integral, em termos do fluxo.
Leis de quadrado inverso
Qualquer lei de quadrado inverso pode ser escrita de forma diferencial ou integral.
A lei de Gauss para eletrostática, por exemplo, deriva diretamente da lei de Coulomb.
Da mesma forma, a lei de Gauss para a gravidade deriva, de forma análoga, da Lei da
Gravitação universal de Newton. Estas equivalências são possíveis graças ao teorema
da divergência.
	Resumo
	Integral de Linha de Campo Vetorial
	Teorema de Green
	Teorema de Stokes
	Teorema de Gauss
	Aplicações