5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine o valor da integral ∬S (x+2y)dx dy∬S (x+2y)dx dy , sendo S a área definida pelas retas x +y - 4 = 0...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Fubini e integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. A área S é definida pelas retas x + y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x ≤ 3. Podemos reescrever a equação da reta x + y - 4 = 0 como y = 4 - x e substituir na equação x = y, obtendo x = 2. Portanto, a área S é um triângulo com vértices em (0,0), (2,2) e (3,1). Integrando em relação a x, temos: ∫(de 0 até 2) ∫(de 0 até 4-x) (x+2y) dy dx = ∫(de 0 até 2) [xy + y²] (de 0 até 4-x) dx = ∫(de 0 até 2) [(4x-x²)/2 + (16-8x+x²)/2] dx = ∫(de 0 até 2) (10x - x²) / 2 dx = [5x² - (x³/3)] (de 0 até 2) = 16/3 Integrando em relação a y, temos: ∫(de 0 até 1) ∫(de y até 4-y) (x+2y) dx dy = ∫(de 0 até 1) [(x²/2 + 2xy)] (de y até 4-y) dy = ∫(de 0 até 1) [(16y-3y²)/2] dy = [8y² - y³/2] (de 0 até 1) = 15/4 Portanto, o valor da integral ∬S (x+2y)dx dy é 15/4. A alternativa correta é a letra B).