PERGUNTA 2 Considere a função f left parenthesis x right parenthesis equals sin invisible function application open parentheses x to the power of ...

Para resolver essa questão, precisamos calcular a integral imprópria da função f(x) de 0 a infinito. Podemos começar analisando o comportamento da função para x próximo a zero. Podemos notar que a função é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, f(x) = -f(-x). Além disso, a função possui um assíntota vertical em x = 0, onde a função não é definida. Podemos calcular a integral imprópria utilizando o método de Cauchy, que consiste em calcular a integral de f(x) de 0 a t e depois tomar o limite quando t tende a infinito. Assim, temos: integral subscript 0 superscript t   f left parenthesis x right parenthesis d x = integral subscript 0 superscript t   (sin(1/x) - cos(1/x))/x dx Podemos integrar a primeira parcela por partes, utilizando u = 1/x e dv = sin(1/x) dx. Assim, temos: integral sin(1/x)/x dx = -cos(1/x) Integrando a segunda parcela por partes, utilizando u = 1/x e dv = cos(1/x) dx, temos: integral cos(1/x)/x dx = sin(1/x) Substituindo na integral original, temos: integral subscript 0 superscript t   f left parenthesis x right parenthesis d x = integral subscript 0 superscript t   (sin(1/x) - cos(1/x))/x dx = -cos(1/t) - sin(1/t) + cos(0) + sin(0) = 1 + sin(1/t) - cos(1/t) Tomando o limite quando t tende a infinito, temos: lim t -> infinity (1 + sin(1/t) - cos(1/t)) = 1 Portanto, a alternativa correta é a letra c) integral subscript 0 superscript straight infinity   f left parenthesis x right parenthesis d x equals 1.

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