Calcule a área limitada pelas seguintes curvas. (a) r = 2θ, (b) r = 2 cos(θ). (c) r = 2 sin(θ). (d) r = 2 sen(2θ), (e) r = 4(1 + cos(θ)).

Para calcular a área limitada pelas curvas, é necessário utilizar a fórmula da área polar, que é dada por: A = 1/2 ∫[a,b] r(θ)² dθ (a) r = 2θ Substituindo na fórmula, temos: A = 1/2 ∫[0,π] (2θ)² dθ A = 1/2 ∫[0,π] 4θ² dθ A = 1/2 [4θ³/3] [0,π] A = 2π³/3 (b) r = 2 cos(θ) Substituindo na fórmula, temos: A = 1/2 ∫[0,π/2] (2cos(θ))² dθ A = 1/2 ∫[0,π/2] 4cos²(θ) dθ A = 1/2 [2θ + sen(2θ)/2] [0,π/2] A = π/2 (c) r = 2 sin(θ) Substituindo na fórmula, temos: A = 1/2 ∫[0,π/2] (2sin(θ))² dθ A = 1/2 ∫[0,π/2] 4sin²(θ) dθ A = 1/2 [θ - sen(2θ)/4] [0,π/2] A = π/4 (d) r = 2 sen(2θ) Substituindo na fórmula, temos: A = 1/2 ∫[0,π/4] (2sen(2θ))² dθ A = 1/2 ∫[0,π/4] 4sen²(2θ) dθ A = 1/2 [θ/2 + sen(2θ)/8] [0,π/4] A = π/16 (e) r = 4(1 + cos(θ)) Substituindo na fórmula, temos: A = 1/2 ∫[0,2π] (4(1 + cos(θ)))² dθ A = 1/2 ∫[0,2π] 16(1 + 2cos(θ) + cos²(θ)) dθ A = 1/2 [16θ + 32sen(θ) + 8sen(2θ) + (θ + sen(θ)cos(θ))] [0,2π] A = 24π Portanto, a área limitada pelas curvas é: (a) 2π³/3 (b) π/2 (c) π/4 (d) π/16 (e) 24π