2. Considere as superf́ıcies S1 = {(x, y, z) 2 R3 | z = 7 x2 y2} e S2 = {(x, y, z) 2 R3 | z = x2 1}. a) Determine a função vetorial que represe...

a) Para encontrar a curva C, precisamos igualar as equações das superfícies S1 e S2. Assim, temos: 7x²y² = x² - 1 6x²y² = x² - 1 y² = (x² - 1)/(6x²) y = ±sqrt((x² - 1)/(6x²)) Substituindo y na equação de S1, temos: z = 7x²y² = 7x²(x² - 1)/(6x²) = (7/6)x^4 - (7/6)x² Portanto, a função vetorial que representa a curva C é: r(t) = (t, ±sqrt((t² - 1)/(6t²)), (7/6)t^4 - (7/6)t²) b) Para encontrar a equação paramétrica da reta tangente a C no ponto P0 = (sqrt(2), 2, 1), precisamos encontrar o vetor tangente à curva C neste ponto. Podemos fazer isso calculando a derivada da função vetorial r(t) e avaliando-a em t = sqrt(2): r'(t) = (1, ±sqrt((6t^2 - (t^2 - 1))/(36t^5)), (7/3)t^3 - (7/3)t) r'(sqrt(2)) = (1, ±sqrt(5/24), 7sqrt(2)/3 - 7sqrt(2)/3) = (1, ±sqrt(5/24), 0) Assim, o vetor tangente à curva C no ponto P0 é (1, ±sqrt(5/24), 0). Podemos usar este vetor para escrever a equação paramétrica da reta tangente: x = sqrt(2) + a y = 2 ± (sqrt(5/24))a z = 1 c) Para esboçar os gráficos de S1 e S2, podemos observar que S1 é uma superfície paraboloide com eixo de simetria ao longo do eixo z, enquanto S2 é uma superfície de revolução em torno do eixo z. Podemos traçar algumas curvas de nível para visualizar melhor as superfícies: Para S1: - z = 0: 7x²y² = 0, que corresponde aos eixos x e y. - z = 1: 7x²y² = x² - 1, que corresponde a uma curva elíptica. - z = 2: 7x²y² = 2x² - 1, que corresponde a uma curva mais achatada. Para S2: - z = 0: x² = 1, que corresponde aos eixos x e y. - z = 1: x² = 2, que corresponde a uma circunferência de raio sqrt(2). - z = 2: x² = 3, que corresponde a uma curva mais afastada do eixo z. Com base nessas curvas de nível, podemos esboçar os gráficos de S1 e S2.