Se X²Y = 18 e X+ Y = 6, calcule X³Y + 3X² + 3Y² + X²Y² + 6XY

Primeiro, precisamos encontrar os valores de X e Y. Podemos fazer isso usando o sistema de equações formado pelas duas equações dadas: X + Y = 6 => Y = 6 - X Substituindo Y na primeira equação: X²(6 - X) = 18 6X² - X³ = 18 X³ - 6X² + 18 = 0 Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação cúbica: Δ = (-6)² - 4(1)(18) = 36 - 72 = -36 X = (-(-6) ± √(-36)) / (2(1)) = 3 ± 3i Como a questão não especifica se devemos considerar apenas as raízes reais, vamos usar as duas raízes para encontrar as soluções. Para X = 3 + 3i, temos: Y = 6 - X = 6 - (3 + 3i) = 3 - 3i Substituindo X e Y na expressão dada: X³Y + 3X² + 3Y² + X²Y² + 6XY = (3 + 3i)³(3 - 3i) + 3(3 + 3i)² + 3(3 - 3i)² + (3²)(18) + 6(3 + 3i)(3 - 3i) = (27 + 81i + 81i + 27i²)(3 - 3i) + 3(9 + 18i + 9i²) + 3(9 - 18i + 9i²) + 54 + 18i = (-162 + 162i) + 3(9 - 9) + 3(9 - 9) + 54 + 18i = -108 + 18i Para X = 3 - 3i, temos: Y = 6 - X = 6 - (3 - 3i) = 3 + 3i Substituindo X e Y na expressão dada: X³Y + 3X² + 3Y² + X²Y² + 6XY = (3 - 3i)³(3 + 3i) + 3(3 - 3i)² + 3(3 + 3i)² + (3²)(18) + 6(3 - 3i)(3 + 3i) = (27 - 81i + 81i - 27i²)(3 + 3i) + 3(9 - 18i + 9i²) + 3(9 + 18i + 9i²) + 54 - 18i = (162 + 162i) + 3(9 - 9) + 3(9 - 9) + 54 - 18i = 378 Portanto, as soluções são -108 + 18i e 378.