Na fi gura, os lados do triângulo ABC tangenciam uma circunferência, respectivamente, nos pontos P, M e N. Se AP k= , 2BM k= , 3CN k= e o perí...

Vamos utilizar o Teorema de Pitágoras e a propriedade de que tangentes a uma circunferência a partir de um ponto são iguais para resolver o problema. Sejam a, b e c os lados do triângulo ABC, e r o raio da circunferência. Temos que: AP = s - a BM = s - b/2 CN = s - 3c/2 Onde s é o semiperímetro do triângulo ABC, dado por: s = (a + b + c)/2 Como AP, BM e CN são tangentes à circunferência, temos que: AP = BM = CN = r Substituindo as expressões de AP, BM e CN em função de a, b e c, temos: s - a = r s - b/2 = r s - 3c/2 = r Resolvendo o sistema de equações, encontramos: a = 4r - 2s b = 4r - 4s/3 c = 4r - 6s/5 Substituindo na expressão do perímetro, temos: a + b + c = 96 4r - 2s + 4r - 4s/3 + 4r - 6s/5 = 96 12r - 22s/15 = 96 r = 5s/3 - 20 Substituindo o valor de r na expressão de AP, temos: s - a = r a = s - r a = s - (5s/3 - 20) a = 96/5 Portanto, o lado AB mede: 2a = 2 * 96/5 = 192/5 = 38,4 cm A resposta correta é a letra E) 26 cm.