Um manual sobre os Princípios Fundamentais da Constituição Federal foi numerado a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usado...

Para resolver esse problema, é necessário saber quantos algarismos são usados em cada número de página. Como o manual começa com o número 1, ele terá apenas um algarismo até a página 9. A partir da página 10, ele terá dois algarismos até a página 99. A partir da página 100, ele terá três algarismos até a página 225. Para calcular o total de páginas numeradas, podemos usar a seguinte fórmula: total de páginas = (número de páginas com 1 algarismo) + (número de páginas com 2 algarismos) + (número de páginas com 3 algarismos) Podemos representar o número de páginas com 1 algarismo como "a", o número de páginas com 2 algarismos como "b" e o número de páginas com 3 algarismos como "c". Temos então o seguinte sistema de equações: a + b + c = total de páginas a + 9b + 100c = 225 Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de "a", "b" e "c". Começamos subtraindo a primeira equação da segunda: 8b + 99c = 225 - total de páginas Podemos ver que "b" e "c" são números inteiros positivos, então a expressão "8b + 99c" deve ser maior ou igual a 225 - total de páginas. Além disso, como o manual tem pelo menos uma página, o total de páginas deve ser maior ou igual a 1. Podemos então escrever as seguintes desigualdades: 8b + 99c ≥ 224 total de páginas ≥ 1 Podemos usar essas desigualdades para encontrar os valores possíveis de "b" e "c". Começamos com "c". Dividimos a primeira desigualdade por 99 e arredondamos para cima: c ≥ (224/99) ≈ 2,26 Isso significa que o número de páginas com 3 algarismos deve ser pelo menos 3. Podemos então testar os valores de "c" de 3 em diante: Se c = 3, então 8b + 297 ≥ 224, o que implica que b ≥ -7,875. Como "b" deve ser um número inteiro positivo, não há solução para c = 3. Se c = 4, então 8b + 396 ≥ 224, o que implica que b ≥ -22,25. Novamente, não há solução para c = 4. Se c = 5, então 8b + 495 ≥ 224, o que implica que b ≥ -31,375. A única solução inteira positiva é b = 1. Se c = 6, então 8b + 594 ≥ 224, o que implica que b ≥ -68,5. Não há solução para c = 6 ou valores maiores. Portanto, a única solução possível é c = 5 e b = 1. Podemos então usar a segunda equação do sistema para encontrar o valor de "a": a + 9b + 100c = 225 a + 9 + 500 = 225 a = 216 Assim, o número de páginas com 1 algarismo é 216, o número de páginas com 2 algarismos é 9 e o número de páginas com 3 algarismos é 5. O total de páginas numeradas é então: total de páginas = 216 + 9 + 5 = 230 Portanto, foram numeradas 230 páginas no manual sobre os Princípios Fundamentais da Constituição Federal.