16) Considere a função g(t) = f(a+ ht, b+ kt), com a, b, h e k constantes. a) Supondo f(x, y) de classe C2 num aberto de R2, veri�que que g′′(t) = ...
16) Considere a função g(t) = f(a+ ht, b+ kt), com a, b, h e k constantes.
a) Supondo f(x, y) de classe C2 num aberto de R2, veri�que que
g′′(t) = h2∂2f∂x2+ 2hk∂2f∂x∂y+ k2∂2f∂y2.
b) Supondo f(x, y) de classe C3 num aberto de R2, veri�que que
g′′(t) = h3∂3f∂x3+ 3h2k∂3f∂x2∂y+ 3hk2∂3f∂x∂y2+ k3∂3f∂y3.
a) Supondo f(x, y) de classe C2 num aberto de R2, veri�que que
g′′(t) = h2∂2f∂x2+ 2hk∂2f∂x∂y+ k2∂2f∂y2.
b) Supondo f(x, y) de classe C3 num aberto de R2, veri�que que
g′′(t) = h3∂3f∂x3+ 3h2k∂3f∂x2∂y+ 3hk2∂3f∂x∂y2+ k3∂3f∂y3.
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a) Para calcular a segunda derivada de g(t), precisamos derivar duas vezes em relação a t. Utilizando a regra da cadeia, temos: g'(t) = ∂f/∂x * h + ∂f/∂y * k g''(t) = (∂²f/∂x² * h²) + (∂²f/∂x∂y * hk) + (∂²f/∂y² * k²) Portanto, g′′(t) = h2∂2f∂x2+ 2hk∂2f∂x∂y+ k2∂2f∂y2. b) Para calcular a terceira derivada de g(t), precisamos derivar três vezes em relação a t. Utilizando a regra da cadeia, temos: g'(t) = ∂f/∂x * h + ∂f/∂y * k g''(t) = (∂²f/∂x² * h²) + (∂²f/∂x∂y * hk) + (∂²f/∂y² * k²) g'''(t) = (∂³f/∂x³ * h³) + (3 * ∂³f/∂x²∂y * h²k) + (3 * ∂³f/∂x∂y² * hk²) + (∂³f/∂y³ * k³) Portanto, g′′(t) = h3∂3f∂x3+ 3h2k∂3f∂x2∂y+ 3hk2∂3f∂x∂y2+ k3∂3f∂y3.
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