14) Seja z = f(u−2v, v+2u) onde f(x, y) é de classe C2 num aberto de R2. Expresse ∂2z∂u2em termos de derivadas parciais de f .

Usando a regra da cadeia, temos: ∂z/∂u = ∂f/∂x * ∂(u-2v)/∂u + ∂f/∂y * ∂(v+2u)/∂u ∂z/∂u = ∂f/∂x * 1 + ∂f/∂y * 2 Derivando novamente em relação a u, temos: ∂²z/∂u² = ∂/∂u (∂z/∂u) ∂²z/∂u² = ∂/∂u (∂f/∂x * 1 + ∂f/∂y * 2) ∂²z/∂u² = ∂²f/∂x² * ∂(u-2v)/∂u + ∂²f/∂y∂x * ∂(v+2u)/∂u + ∂²f/∂x∂y * ∂(u-2v)/∂u + ∂²f/∂y² * ∂(v+2u)/∂u Simplificando, temos: ∂²z/∂u² = (∂²f/∂x² + 4∂²f/∂x∂y + 4∂²f/∂y²) * 1 Portanto, a expressão para ∂²z/∂u² em termos de derivadas parciais de f é: ∂²z/∂u² = ∂²f/∂x² + 4∂²f/∂x∂y + 4∂²f/∂y²