27) Determine um plano que seja tangente à superfície x2 + 3y2 + 2z2 = 11 6 e paralelo ao plano x+ y + z = 10.

Primeiramente, vamos encontrar o ponto de tangência entre o plano e a superfície. Para isso, precisamos encontrar um ponto que pertença ao plano e à superfície. Podemos escolher, por exemplo, o ponto (1, 2, 7), que pertence ao plano x + y + z = 10. Substituindo esse ponto na equação da superfície, temos: 1² + 3(2²) + 2(7²) = 11 1 + 12 + 98 = 11 Portanto, o ponto (1, 2, 7) pertence à superfície. Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano x + y + z = 10. Esse vetor é dado pelos coeficientes da equação, ou seja, (1, 1, 1). Como o plano que queremos encontrar é paralelo a esse vetor normal, podemos usar esse vetor como vetor diretor do plano. Assim, o vetor normal ao plano que queremos encontrar será ortogonal a esse vetor diretor e também à superfície. Podemos encontrar esse vetor normal fazendo o produto vetorial entre o vetor diretor e o gradiente da superfície no ponto de tangência: grad(x² + 3y² + 2z²) = (2x, 6y, 4z) grad(x² + 3y² + 2z²) |(1, 2, 7) = (2, 12, 28) Vetor diretor: (1, 1, 1) Vetor normal: (2, 12, 28) x (1, 1, 1) = (16, -26, 10) Assim, o plano que procuramos é dado pela equação: 16(x - 1) - 26(y - 2) + 10(z - 7) = 0 Simplificando, temos: 16x - 26y + 10z = 114 Portanto, a alternativa correta é a letra D).