36) Calcular ∫ ∫ ∫ T dV , sendo T a região delimitada por x2 + y2 + z2 = a2, z = 0 e z = √ 3 a.

Para calcular a integral tripla ∫∫∫T dV, onde T é a região delimitada por x² + y² + z² = a², z = 0 e z = √3a, podemos utilizar coordenadas esféricas. Primeiro, vamos escrever as equações em coordenadas esféricas: x² + y² + z² = a² ⇒ r² = a² z = √3a ⇒ rcos(φ) = √3a A região T é delimitada pelo plano z = 0 e pelo cone z = √3a, portanto, temos que 0 ≤ z ≤ √3a. Além disso, a região T é simétrica em relação ao plano xy, portanto, podemos considerar apenas a metade superior da região T, ou seja, 0 ≤ φ ≤ π/2. Por fim, a região T é uma esfera de raio a com um cone cortado, portanto, temos que a equação do cone é dada por φ = π/6. Assim, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas como: ∫∫∫T dV = ∫0^π/6 ∫0^2π ∫0^a rsin(φ) dr dθ dφ + ∫π/6^π/2 ∫0^2π ∫0^√(3)a rsin(φ) dr dθ dφ Resolvendo as integrais, obtemos: ∫∫∫T dV = (5/8)πa³ Portanto, a resposta correta é a alternativa D).