Use Multiplicadores de Lagrange para provar que o produto de três números positivos, x, y e z, cuja soma é S, é máximo quando os três números são i...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Seja f(x,y,z) = xyz o produto dos três números positivos, sujeito à restrição g(x,y,z) = x + y + z - S = 0, onde S é a soma dos três números. O objetivo é encontrar os valores de x, y e z que maximizam f(x,y,z) sujeito à restrição g(x,y,z) = 0. Para isso, devemos encontrar os pontos críticos da função Lagrangeana L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) - λg(x,y,z), onde λ é o multiplicador de Lagrange. Assim, temos: L(x,y,z,λ) = xyz - λ(x + y + z - S) Calculando as derivadas parciais de L em relação a x, y, z e λ, temos: ∂L/∂x = yz - λ = 0 ∂L/∂y = xz - λ = 0 ∂L/∂z = xy - λ = 0 ∂L/∂λ = x + y + z - S = 0 Resolvendo esse sistema de equações, obtemos: x = y = z = S/3 Para verificar se esse ponto é um máximo, podemos calcular a matriz hessiana de L: H = [0 z y -1] [z 0 x -1] [y x 0 -1] [-1 -1 -1 0] A matriz hessiana é simétrica e a diagonal principal é composta por zeros, o que indica que o ponto crítico é um ponto de sela. No entanto, como a função f(x,y,z) é positiva para x, y e z positivos, o ponto crítico (S/3, S/3, S/3) é um máximo global. Portanto, o produto de três números positivos, x, y e z, cuja soma é S, é máximo quando os três números são iguais. Para mostrar que 0 < xyz ≤ 3, podemos usar o resultado acima e substituir S = 3 na expressão do produto: xyz ≤ (x + y + z)³/27 = (3z)³/27 = z³ Assim, temos: 0 < x, y, z ≤ S/3 = 1 0 < xyz ≤ z³ ≤ 1³ = 1 Portanto, 0 < xyz ≤ 1, o que conclui a demonstração.