considere R^4, com o produto interno canônico. Considere S um conjunto com os elementos u1=(1,1,0,-1) , u2=(1,2,1,3) , u3=(1,1,-9,2) e u4=(16,-13,1...

Para mostrar que S é uma base de R^4, precisamos verificar duas coisas: que S é um conjunto gerador e que S é linearmente independente. Para mostrar que S é um conjunto gerador, precisamos mostrar que qualquer vetor em R^4 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em S. Seja v = (a,b,c,d) um vetor arbitrário em R^4. Podemos escrever v como: v = (a,b,c,d) = (-1)u1 + (3)u2 + (2)u3 + (1/3)u4 Portanto, S é um conjunto gerador de R^4. Para mostrar que S é linearmente independente, precisamos mostrar que a única combinação linear dos vetores em S que resulta no vetor nulo é a combinação trivial. Ou seja, se: c1u1 + c2u2 + c3u3 + c4u4 = (0,0,0,0) então c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Podemos escrever essa equação como um sistema linear: | 1 1 1 16 | | c1 | | 0 | | 1 2 1 -13 | x | c2 | = | 0 | | 0 1 -9 1 | | c3 | | 0 | |-1 3 2 3 | | c4 | | 0 | Resolvendo esse sistema, encontramos que a única solução é c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Portanto, S é linearmente independente. Como S é um conjunto gerador e linearmente independente, concluímos que S é uma base de R^4.