Dados os pontos A = (1, −2) e B = (0, 0). O lugar geométrico formado por todos os pontos P tal que d(P, A) = √2d(P, B) formam o ćırculo C. Consid...

Para encontrar as coordenadas do centro e o raio do círculo C, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: d(P, A) = √[(x - 1)² + (y + 2)²] d(P, B) = √[x² + y²] Substituindo essas expressões na equação d(P, A) = √2d(P, B), temos: √[(x - 1)² + (y + 2)²] = √2√[x² + y²] Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos: (x - 1)² + (y + 2)² = 2(x² + y²) Expandindo os termos, temos: x² - 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 2x² + 2y² Simplificando, temos: x² - 2x + y² - 4y - 3 = 0 Completando o quadrado, temos: (x - 1)² + (y - 2)² = 8 Portanto, o centro do círculo C é o ponto (1, 2) e o raio é √8 = 2√2. Para verificar que o ponto Q = (0, -1) pertence a C, podemos calcular a distância entre Q e o centro do círculo: d(Q, (1, 2)) = √[(0 - 1)² + (-1 - 2)²] = √10 Como √10 = √2√5, temos que Q pertence a C. Para determinar as coordenadas do ponto R de tal forma que o segmento RQ seja um diâmetro de C, podemos observar que o ponto R deve estar na reta que passa pelos pontos Q e pelo centro do círculo. Essa reta tem equação: y - 2 = (-1/0.5)(x - 1) Simplificando, temos: y = -2x + 3 Substituindo essa equação na equação do círculo, temos: x² - 2x + (-2x + 3)² - 4(-2x + 3) - 3 = 0 Simplificando, temos: 6x² - 24x + 16 = 0 Dividindo ambos os lados por 2, temos: 3x² - 12x + 8 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos: x = 2 ± √2 Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos as coordenadas dos pontos R1 e R2: R1 = (2 + √2, -2√2 + 3) R2 = (2 - √2, 2√2 + 3) Portanto, os pontos R1 e R2 são os extremos do diâmetro que passa por Q.