AD1 GEOMETRIA ANALÍTICA 2023.2 - GABARITO

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
1a Avaliação a Distância - GABARITO
2o Semestre de 2023
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,0 pontos] Seja ABCD um paralelogramo de lados consecutivos AB e BC, tal que
−→
AB = (2, −4), −−→AM é perpendicular a −−→DC e ||−−→AM || =
√
5, onde M = (2, 1) é o ponto médio do
lado DC. Considere esses dados para responder as seguintes questões.
(a) [1,0 ponto] Encontre as coordenadas dos pontos C e D.
(b) [2,0 pontos] Encontre as coordenadas do ponto A.
Resolução
(a) Consideremos C = (c1, c2), D = (d1, d2) e o paralelogramo de lados consecutivos AB e BC na
seguinte figura.
Podemos observar que:
−−→
DC = −→AB = (2, −4), e como M é ponto médio do lado DC, então
temos as seguintes equações:
(c1 − d1, c2 − d2) = (2, −4) e
(d1 + c1
2 ,
c2 + d2
2
)
= (2, 1),
ou seja,
(c1 − d1, c2 − d2) = (2, −4) e (d1 + c1, c2 + d2) = (4, 2).
Geometria Anaĺıtica I AD1 2/2023
Assim, para encontrar os valores de c1, c2, d1 e d2 devemos resolver os sistemas de equações:{
c1 − d1 = 2
d1 + c1 = 4
e
{
c2 − d2 = −4
d2 + c2 = 2
Substituindo a segunda equação na primeira equação em cada sistema obtemos:{
c1 − (4 − c1) = 2
d1 + c1 = 4
e
{
c2 − (2 − c2) = −4
d2 + c2 = 2{
2c1 = 6
d1 + c1 = 4
e
{
2c2 = −2
d2 + c2 = 2{
c1 = 3
d1 + c1 = 4
e
{
c2 = −1
d2 + c2 = 2.
Os quais tem por solução: c1 = 3, c2 = −1, d1 = 1 e d2 = 3, e C = (3, −1) e D = (1, 3).
(b) Consideremos A = (a1, a2), e temos que
−−→
AM = (2 − a1, 1 − a2).
Como
−−→
AM é perpendicular a
−−→
DC, então
⟨
−−→
AM,
−−→
DC⟩ = 0.
Substituindo, temos
⟨(2 − a1, 1 − a2), (2, −4)⟩ = 0
2(2 − a1) − 4(1 − a2) = 0
4 − 2a1 − 4 + 4a2 = 0
−2a1 + 4a2 = 0
⇐⇒ a1 = 2a2.
Assim, podemos escrever as coordenadas do
−−→
AM = (2 − 2a2, 1 − a2), e como ||
−−→
AM || =
√
5,
substituindo temos
√
(2 − 2a2)2 + (1 − a2)2 =
√
5
(2 − 2a2)2 + (1 − a2)2 = 5
4 − 8a2 + 4a22 + 1 − 2a2 + a22 = 5
5 − 10a2 + 5a22 = 5
−10a2 + 5a2 = 0
a2(−2 + a2) = 0
⇐⇒ a2 = 0 ou a2 = 2.
Quando a2 = 0, a1 = 0 e o ponto A = (0, 0), e se a2 = 2, a1 = 4 e A = (4, 2).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica I AD1 2/2023
Questão 2 [3,0 pontos] Determine os vetores unitários v⃗1 e v⃗2 que fazem o ângulo θ =
π
3 com o
vetor u⃗ = (
√
3, −1) e escreva o vetor η⃗ = (
√
3, 2) como combinação linear dos vetores v⃗1 e v⃗2.
Resolução:
Sabemos que se u⃗ = (a, b) é um vetor não nulo, então os vetores unitários v⃗1 e v⃗2 que fazem um
ângulo θ ∈ (0, π) com o vetor u⃗ são dados por:
v⃗1 = cos θ
u⃗
||u⃗||
+ sin θ w⃗
||w⃗||
v⃗2 = cos(−θ)
u⃗
||u⃗||
+ sin(−θ) w⃗
||w⃗||
,
onde w⃗ = (−b, a).
No problema, temos que: ||u⃗|| = 2 e w⃗ = (1,
√
3). Substituindo, temos:
v⃗1 = cos
π
3
(
√
3, −1)
2 + sin
π
3
(1,
√
3)
2
= 12
(
√
3, −1)
2 +
√
3
2
(1,
√
3)
2
=
(√3
4 , −
1
4
)
+
(√3
4 ,
3
4
)
=
(√3
2 ,
1
2
)
,
e
v⃗2 = cos(−
π
3 )
(
√
3, −1))
2 + sin(−
π
3 )
(1,
√
3)
2
= 12
(
√
3, −1)
2 −
√
3
2
(1,
√
3)
2
=
(√3
4 , −
1
4
)
−
(√3
4 ,
3
4
)
= (0, −1).
Para escrever o vetor η⃗ = (
√
3, 2) como combinação linear dos vetores v⃗1 e v⃗2, devemos encontrar
os valores de λ e µ tal que:
η⃗ = λv⃗1 + µv⃗2.
Substituindo temos
(
√
3, 2) = λ
(√3
2 ,
1
2
)
+ µ(0, −1)
=
(λ√3
2 ,
λ
2
)
+ (0, −µ)
=
(λ√3
2 ,
λ
2 − µ
)
,
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica I AD1 2/2023
logo, 
√
3 = λ
√
3
2
2 = λ2 − µ
⇐⇒
{
2 = λ
−1 = µ.
Assim, podemos escrever o vetor η⃗ como:
(
√
3, 2) = 2
(√3
2 ,
1
2
)
− 1(0, −1).
Questão 3 [4,0 pontos] Considere os pontos A = (3, 2) e B no segundo quadrante e pertencente à
reta r : x + 2y = 7, onde ||−→AB|| = 2
√
5. Se C é um ćırculo de centro C no eixo OX que passa pelos
pontos A e B, determine o centro, o raio do ćırculo, a equação do ćırculo e a equação paramétrica
da reta perpendicular à reta r a qual passa pelo ponto médio do segmento AB e verifique que o
centro C pertence a essa reta.
Resolução:
Consideremos o ponto B = (a, b) ∈ r, então as coordenadas de B satisfazem a equação de r, isto é:
a + 2b = 7.
Assim, podemos escrever as coordenadas de B = (7−2b, b), e −→AB = (7−2b−3, b−2) = (4−2b, b−2).
Para determinar o valor de b, usamos o fato que ||
−→
AB|| = 2
√
5, assim temos√
(4 − 2b)2 + (b − 2)2 = 2
√
5
(
√
(4 − 2b)2 + (b − 2)2)2 = (2
√
5)2
(4 − 2b)2 + (b − 2)2 = 20
16 − 16b + 4b2 + b2 − 4b + 4 = 20
−20b + 5b2 = 0
5b(−4 + b) = 0
=⇒ b = 0 ou b = 4.
Portanto, temos achado os pontos B = (7, 0) e B = (−1, 4). E como, por condição do problema o
ponto B se encontra no segundo quadrante, então devemos considerar B = (−1, 4).
Agora, como os pontos A e B pertencem ao ćırculo C, então d(A, C) = d(B, C) = r.
Também, como o ponto C se encontra sobre o eixo OX podemos considerar C = (x, 0), e substi-
tuindo em d(A, C) = d(B, C), temos
√
(3 − x)2 + 22 =
√
(−1 − x)2 + 42
(3 − x)2 + 22 = (−1 − x)2 + 42
9 − 6x + x2 + 4 = 1 + 2x + x2 + 16
−8x = 4
x = −12
=⇒ C =
(
− 12 , 0
)
e r =
√(
3 + 12
)2
+ 22 =
√(7
2
)2
+ 4 =
√
49
4 + 4 =
√
65
4 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica I AD1 2/2023
E a equação do ćırculo é:
C =
(
x + 12
)2
+ y2 = 654 .
Para determinar as equações paramétricas da reta s que é perpendicular à reta r e passa pelo
ponto médio M =
(3 − 1
2 ,
2 + 4
2
)
= (1, 3) do segmento AB, e usaremos o vetor u⃗ = (1, 2) que é
perpendicular à r, pois ele é paralelo à reta s.
Assim, as equações paramétricas de s se escrevem da forma:
s :
{
x = 1 + t
y = 3 + 2t ; ∀t ∈ R.
Agora, para verificar que o ponto C pertence à reta s, as suas coordenadas devem satisfazer as
equações paramétricas para algum valor de t, isto é
{
−12 = 1 + t
0 = 3 + 2t para algum t ∈ R.
Podemos observar que quando t = −32 as duas equações são satisfeitas. Portanto, C ∈ C.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ