Matemática-03-Moderna-Plus-076-078

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22 No plano cartesiano abaixo estão representados o ponto A(2, 3) e a reta vertical r de equação x 5 6. 
Determinar o ponto P da reta r tal que P seja equidistante de A e O.
 Consideramos a condição exigida no enunciado, isto é, PA 5 13:
 PA 5 13 ] dllllllllllllllllll [x 2 (25)]2 1 (x 2 2)2 5 13
 Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade, obtemos:
 [x 2 (25)]2 1 (x 2 2)2 5 132 ] [x 1 5]2 1 (x 2 2)2 5 169
 } x2 1 10x 1 25 1 x2 2 4x 1 4 5 169 ] 2x2 1 6x 2 140 5 0
 Dividimos por 2 ambos os membros dessa equação, obtendo:
 x2 1 3x 2 70 5 0
 Resolvendo essa equação, temos:
 S 5 32 2 4 3 1 3 (270) 5 289
 x 5 
23 ± dllll 289 
 __________ 
2 3 1
 5 23 ± 17 ________ 
2
 ] x 5 7 ou x 5 210
 Concluímos, portanto, que existem dois pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares que distam 13 
unidades do ponto A; são eles: P(7, 7) e Pe(210, 210)
�5
2
y 
A
x
P(7, 7)
P�(�10, �10)
bi
3
2 6
y 
A
xO
r
Resolução
 Todo ponto da reta vertical r tem abscissa 6 e, portanto, P é um ponto da forma P(6, p). Considerando 
a condição exigida no enunciado, isto é, PA 5 PO, temos:
 PA 5 PO ] dllllllllllllllll (6 2 2)2 1 ( p 2 3)2 5 dllllllllllllllll (6 2 0)2 1 ( p 2 0)2 
 Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade, obtemos:
 (6 2 2)2 1 ( p 2 3)2 5 (6 2 0)2 1 ( p 2 0)2 ] 16 1 p2 2 6p 1 9 5 36 1 p2
 } 26 p 5 11 ] p 5 2 11 ___ 
6
 
 Concluímos, então, que o ponto procurado é: P @ 6, 2 
11 ___ 
6
 # 
77
S
e
ç
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 2
.2
	•	
R
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R
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19
98
.
CAP 02.indb 77 04.10.10 13:53:14
38 Obtenha uma equação da reta que passa pelo pon-
to P e tem coeficiente angular m em cada um dos 
seguintes casos:
a) P(6, 3) e m 5 2
b) P(4, 25) e m 5 1
c) P @ 3 __ 
2
 , 2 1 __ 
4
 # e m 5 2 
5 __ 
6
 
39 Obtenha uma equação para cada uma das retas 
representadas a seguir.
b)
a)
c)
40 Represente, por meio de uma equação, a reta que 
passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
a) A(2, 3) e B(6, 11)
b) A(21, 5) e B(2, 21)
c) A(4, 8) e B(6, 8)
41 Obtenha uma equação da reta r representada no 
plano cartesiano abaixo.
42 Obtenha as equações das retas r e s representadas 
abaixo, sabendo que: r ) s 5 {(22, 3)}
43 No gráfico abaixo, bp e bi são as bissetrizes dos qua-
drantes pares e ímpares, respectivamente, e M é o 
ponto médio do segmento OQ. Determine os pontos 
M, Q e T.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
7
45°
3
y 
x
r
P
135°
4
y 
x
s
P
30°
�2
y 
x
P
t
y
x
r
k
s
6
45°
0
y
x
r
s
8
y 
x
T
r
Q
M s
bp bi
O
Resolva os exercícios complementares 30 a 38 e 81 a 87.
44 Determine o ponto P, pertencente à bissetriz dos 
quadrantes ímpares, cuja distância ao ponto Q(1, 3) 
é igual a 10.
45 Determine o ponto P, pertencente à bissetriz dos 
quadrantes pares, cuja distância ao ponto Q(0, 21) 
é igual a 5.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
78
C
a
p
ít
u
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 2
	•	
G
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CAP 02.indb 78 04.10.10 13:53:15
Formas da equação da reta
Vimos que, no plano cartesiano, a reta que passa pelo ponto P(x0, y0) e tem coe-
ficiente angular m pode ser representada pela equação y 2 y0 5 m(x 2 x0), 
e a reta vertical que passa por P(x0, y0) tem como representação a equação 
x 5 x0.
Embora essas equações sejam suficientes para representar qualquer reta 
do plano cartesiano, é útil conhecer outras formas de apresentar essas 
equações.
Assim,	vamos	estudar	três	formas	de	equação	da	reta:	a	forma geral, a 
forma reduzida e a forma paramétrica. Cada uma delas tem uma utilidade 
específica:	a	forma	geral	recebe	esse	nome	porque	permite	representar	
qualquer reta do plano, horizontal, vertical ou oblíqua; a forma reduzida 
explicita o coeficiente angular e o coeficiente linear, que é a ordenada do 
ponto de intersecção com o eixo Oy; e a forma paramétrica permite o estudo 
de cada variável da equação em função de um parâmetro real.
 Equação geral da reta
Toda reta do plano cartesiano é gráfico de uma equação da forma 
ax 1 by 1 c 5 0, em que x e y são variáveis e a, b e c são constantes reais, 
com a e b não simultaneamente nulas. Reciprocamente, toda equação 
dessa forma representa uma reta do plano cartesiano. Essa equação é 
chamada de equação geral da reta.
Note, portanto, que a equação geral da reta é uma equação do 1o grau 
com duas variáveis em que um dos membros da igualdade é zero.
Exemplos
a)	A	reta	oblíqua	de	equação	y 5 5x 2 6 pode ser representada pela equa-
ção	geral:
 5x 2 y 2 6 5 0
b)	A	reta	horizontal	de	equação	y 5 7 pode ser representada pela equação 
geral:
 0x 1 y 2 7 5 0
c)	A	reta	vertical	de	equação	x 5 2 pode ser representada pela equação 
geral:
 x 1 0y 2 2 5 0
Seção 2.3
 Objetivos
 Representar qualquer 
reta do plano por uma 
equação geral.
 Determinar as 
coordenadas do ponto 
de intersecção de duas 
retas concorrentes.
 Representar qualquer 
reta não vertical 
do plano por uma 
equação reduzida.
 Reconhecer a posição 
relativa de duas 
retas não verticais do 
plano por meio de 
seus coeficientes 
angulares e lineares.
 Reconhecer a 
perpendicularidade 
entre retas não 
verticais do plano 
com base em seus 
coeficientes angulares.
 Expressar as equações 
paramétricas de 
uma reta na forma 
geral e reduzida.
 Termos e conceitos
• equação geral 
da reta
• equação reduzida 
da reta
• equação paramétrica 
da reta
23 Construir o gráfico da reta r cuja equação geral é: 
3x 1 5y 2 15 5 0
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Dois pontos distintos determinam uma reta; assim, 
para construir o gráfico da reta r, basta representar 
no plano cartesiano dois pontos distintos de r e 
traçar a reta que passa por eles.
•	 Substituindo	x 5 0 na equação 3x 1 5y 2 15 5 0, 
obtemos:
 3 3 0 1 5y 2 15 5 0 ] y 5 3
(0, 3)
O x
y
r(5, 0)
•	 Substituindo	y 5 0 na equação 3x 1 5y 2 15 5 0, 
obtemos: 
 3x 1 5 3 0 2 15 5 0 ] x 5 5
 Portanto, dois pontos distintos de r são (0, 3) e (5, 0). 
Logo, o gráfico de r é:
79
S
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 2
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