4 Determine a potência de 5 na decomposição de 75! em fatores primos. R.: 18.

Para determinar a potência de 5 na decomposição de 75! em fatores primos, é necessário utilizar a fórmula de Legendre. Essa fórmula consiste em dividir o número pelo fator primo e somar o resultado da divisão com o resultado da divisão do quociente anterior pelo mesmo fator primo, repetindo esse processo até que o resultado da divisão seja menor que o fator primo. No caso do número 75!, é possível verificar que a potência de 5 na decomposição em fatores primos é dada pela soma das divisões sucessivas de 75 por 5, 25 e 125, que são os fatores primos de 5 elevados a primeira, segunda e terceira potência, respectivamente. Assim, temos: 75 ÷ 5 = 15 15 ÷ 5 = 3 3 ÷ 5 = 0 (menor que 5) Portanto, a potência de 5 na decomposição de 75! em fatores primos é 15 + 3 + 0 = 18.