seja V um espaço de dimensão finita e T: V W uma transforção linear então, a dim N(T) + dim lm(T)= dimV. sendo assim determine a dimensão da image...

A partir da fórmula dada, temos que dim N(T) + dim lm(T) = dim V, onde N(T) é o núcleo de T (espaço dos vetores que são mapeados em zero) e lm(T) é a imagem de T (espaço gerado pelos vetores imagem de T). No caso da transformação linear T: R³ -> R², temos que dim V = 3 e dim W = 2. Precisamos encontrar a dimensão de N(T) e lm(T) para aplicar a fórmula. Para encontrar a dimensão de N(T), precisamos resolver a equação T(x,y,z) = (0,0), ou seja, encontrar os vetores (x,y,z) que são mapeados em zero por T. Temos: T(x,y,z) = (0,0) (x-z, 2x+y+3z) = (0,0) Da segunda equação, temos que 2x + y + 3z = 0. Podemos escolher x e z como variáveis livres e escrever y em função delas: y = -2x - 3z Assim, podemos escrever o vetor (x,y,z) como uma combinação linear dos vetores (1,-2,0) e (0,-3,1): (x,y,z) = x(1,-2,0) + z(0,-3,1) Portanto, N(T) é gerado pelos vetores (1,-2,0) e (0,-3,1), e tem dimensão 2. Para encontrar a dimensão de lm(T), precisamos encontrar uma base para a imagem de T. Podemos escrever o vetor imagem de T como uma combinação linear dos vetores (1,0) e (0,1): (x-z, 2x+y+3z) = x(1,2) + z(-1,3) Assim, lm(T) é gerado pelos vetores (1,2) e (-1,3), e tem dimensão 2. Aplicando a fórmula, temos: dim N(T) + dim lm(T) = dim V 2 + dim lm(T) = 3 dim lm(T) = 1 Portanto, a dimensão da imagem de T é 1. A alternativa correta é a letra d).