Problemas com equação do 2° grau: 1) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. (R: 9 e -10) 2) A soma do quadrado de um núm...

1) Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula geral da equação do segundo grau: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Sabemos que a soma de um número com o seu quadrado é 90, ou seja, x + x² = 90. Podemos reescrever essa equação como x² + x - 90 = 0. Aplicando a fórmula geral, temos: x = (-1 ± √(1² - 4(1)(-90))) / 2(1) = (-1 ± √(1 + 360)) / 2 = (-1 ± √361) / 2. Portanto, x = (-1 + 19) / 2 = 9 ou x = (-1 - 19) / 2 = -10. 2) Novamente, podemos utilizar a fórmula geral da equação do segundo grau: x² + x = 12. Reescrevendo a equação como x² + x - 12 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (-1 ± √(1² - 4(1)(-12))) / 2(1) = (-1 ± √49) / 2. Portanto, x = (-1 + 7) / 2 = 3 ou x = (-1 - 7) / 2 = -4. 3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1, ou seja, x² - 2x = -1. Reescrevendo a equação como x² - 2x + 1 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (-(-2) ± √((-2)² - 4(1)(1))) / 2(1) = (2 ± √8) / 2. Portanto, x = 1. 4) Novamente, podemos utilizar a fórmula geral da equação do segundo grau: x² - 2x - 80 = 0. Aplicando a fórmula geral, temos: x = (2 ± √(2² + 4(1)(80))) / 2 = (2 ± √324) / 2. Portanto, x = 10 ou x = -8. 5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número, ou seja, x² + 25 = 10x. Reescrevendo a equação como x² - 10x + 25 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (10 ± √(10² - 4(1)(25))) / 2(1) = (10 ± √0) / 2. Portanto, x = 5. 6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número, ou seja, x² + 3x = 7x. Reescrevendo a equação como x² - 4x = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (4 ± √(4² - 4(1)(0))) / 2(1) = 0 ou x = 4. 7) O quadrado menos o quádruplo de um número é igual a 5, ou seja, x² - 4x = 5. Reescrevendo a equação como x² - 4x - 5 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (4 ± √(4² - 4(1)(-5))) / 2(1) = (4 ± √36) / 2. Portanto, x = 5 ou x = -1. 8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18, ou seja, x² = 3x + 18. Reescrevendo a equação como x² - 3x - 18 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (3 ± √(3² + 4(1)(18))) / 2(1) = (3 ± √81) / 2. Portanto, x = 6 ou x = -3. 9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 7 menos 3, ou seja, 2x² = 7x - 3. Reescrevendo a equação como 2x² - 7x + 3 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (7 ± √(7² - 4(2)(3))) / 2(2) = (7 ± √37) / 4. Portanto, x = 3 ou x = 1/2. 10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15, ou seja, x² - 3(x+1) = 15. Reescrevendo a equação como x² - 3x - 18 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (3 ± √(3² + 4(1)(18))) / 2(1) = (3 ± √81) / 2. Portanto, x = 6 ou x = -3. 11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? Podemos reescrever a equação como x² + x - 56 = 0 e aplicar a fórmula geral: x = (-1 ± √(1² - 4(1)(-56))) / 2(1) = (-1 ± √225) / 2. Portanto, x = -8 ou x = 7. 12) Um número ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35, ou seja, x² + 2x = 35. Reescrevendo a equação como x² + 2x - 35 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (-2 ± √(2² + 4(1)(35))) / 2(1) = (-2 ± √144) / 2. Portanto, x = -7 ou x = 5. 13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40, ou seja, x² - 3x = 40. Reescrevendo a equação como x² - 3x - 40 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (3 ± √(3² + 4(1)(40))) / 2(1) = (3 ± √169) / 2. Portanto, x = 8 ou x = -5. 14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. Podemos reescrever a equação como 3x² - 2x = 40. Testando alguns valores, encontramos que x = 4 é uma solução. 15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. Podemos reescrever a equação como x² - 2x = 48. Testando alguns valores, encontramos que x = 8 é uma solução. 16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2, ou seja, 3x - x² = 2. Reescrevendo a equação como x² - 3x + 2 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (3 ± √(3² - 4(1)(2))) / 2(1) = (3 ± √1) / 2. Portanto, x = 1 ou x = 2. 17) Qual é o número, cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? Podemos reescrever a equação como x² + 3x - 40 = 0 e aplicar a fórmula geral: x = (-3 ± √(3² + 4(1)(40))) / 2(1) = (-3 ± √169) / 2. Portanto, x = 5 ou x = -8. 18) O quadrado de um número diminuído de 15 é igual ao seu dobro, ou seja, x² - 15 = 2x. Reescrevendo a equação como x² - 2x - 15 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (2 ± √(2² + 4(1)(15))) / 2(1) = (2 ± √64) / 2. Portanto, x = 5 ou x = -3. 19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26, ou seja, x² - 3x = 26. Reescrevendo a equação como x² - 3x - 26 = 0 e aplicando a fórmula geral, temos: x = (3 ± √(3² + 4(1)(26))) / 2(1) = (3 ± √109) / 2. Portanto, x = 7 ou x = -4. 20) Se do quadrado de um número negativo subtraímos 7, o resto será 42. Podemos reescrever a equação como x² - 7 = -42 e resolver: x² = -35. Como não existem raízes reais para um número negativo, não há solução para esse problema.