1. a) Mostre que, para a e b constantes, Var(aX + b) = a2Var(X). b) Mostre que para duas variáveis aleatórias independentes, X e Y , Var(X + Y ) ...

Question

1. a) Mostre que, para a e b constantes, Var(aX + b) = a2Var(X). b) Mostre que para duas variáveis aleatórias independentes, X e Y , Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).
a) Mostrar que Var(aX + b) = a2Var(X).
b) Mostrar que para duas variáveis aleatórias independentes, X e Y , Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).

Ed · Answer

a) Para mostrar que Var(aX + b) = a²Var(X), podemos usar a definição de variância:

Var(aX + b) = E[(aX + b - E[aX + b])²]

Expandindo o quadrado e usando as propriedades de esperança, temos:

Var(aX + b) = E[(aX)² + 2abX + b² - 2a(bX) - 2b(aX) - 2abE[X] + (a²)(E[X²]) + 2abE[X] + b² - 2abE[X] + (a²)(E[X²]) - (a²)(E[X])² - 2abE[X] + b² + 2abE[X] + (a²)(E[X])²]

Simplificando, temos:

Var(aX + b) = E[(aX)²] + 2abE[X] + b² + (a²)(E[X²]) - 2abE[X] - (a²)(E[X])² + 2abE[X] + b² + (a²)(E[X²]) - 2abE[X] + (a²)(E[X])²

Simplificando novamente, temos:

Var(aX + b) = a²E[X²] + b² + 2abE[X] - (a²)(E[X])²

Agora, podemos usar a definição de variância novamente para encontrar Var(X):

Var(X) = E[X²] - (E[X])²

Substituindo na equação anterior, temos:

Var(aX + b) = a²(E[X²] - (E[X])²) = a²Var(X)

Portanto, mostramos que Var(aX + b) = a²Var(X).

b) Para mostrar que Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) para X e Y independentes, podemos usar a definição de variância novamente:

Var(X + Y) = E[(X + Y)²] - (E[X + Y])²

Expandindo o quadrado, temos:

Var(X + Y) = E[X² + 2XY + Y²] - (E[X] + E[Y])²

Usando as propriedades de esperança, temos:

Var(X + Y) = E[X²] + 2E[XY] + E[Y²] - (E[X])² - 2E[X]E[Y] - (E[Y])²

Como X e Y são independentes, temos E[XY] = E[X]E[Y]. Substituindo na equação anterior, temos:

Var(X + Y) = E[X²] + 2E[X]E[Y] + E[Y²] - (E[X])² - 2E[X]E[Y] - (E[Y])²

Simplificando, temos:

Var(X + Y) = E[X²] - (E[X])² + E[Y²] - (E[Y])²

Usando a definição de variância novamente, temos:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Portanto, mostramos que Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) para X e Y independentes.

1. a) Mostre que, para a e b constantes, Var(aX + b) = a2Var(X). b) Mostre que para duas variáveis aleatórias independentes, X e Y , Var(X + Y ) ...

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