Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo e estimar o valor de ????(2) a) Utilizando o método de siste...

Para encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo e estimar o valor de ???? (2), podemos utilizar o método de Lagrange ou o método de Newton. Suponha que temos a seguinte tabela de valores: | x | f(x) | |---|------| | 0 | 1 | | 1 | 3 | | 2 | 5 | a) Utilizando o método de sistema linear: Podemos escrever o sistema linear abaixo, onde a, b e c são os coeficientes do polinômio de grau 2: | x^2 | x | 1 | f(x) | |-----|---|---|------| | 0 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 3 | | 4 | 2 | 1 | 5 | Resolvendo o sistema, encontramos a = 1, b = 1 e c = 1. Portanto, o polinômio que interpola os dados é p(x) = x^2 + x + 1. Para estimar o valor de p(2), basta substituir x por 2 na expressão de p(x), obtendo p(2) = 7. b) Utilizando o método de Lagrange: O polinômio que interpola os dados pode ser escrito como: p(x) = L0(x)f(0) + L1(x)f(1) + L2(x)f(2) onde Li(x) é o i-ésimo polinômio de Lagrange, dado por: Li(x) = [(x - xj)/(xi - xj)] * [(x - xk)/(xi - xk)], para i ≠ j ≠ k Substituindo os valores da tabela, temos: L0(x) = (x - 1)(x - 2)/2 L1(x) = -x(x - 2) L2(x) = (x - 1)x/2 Portanto, o polinômio que interpola os dados é p(x) = (x - 1)(x - 2)/2 * 1 + (-x(x - 2)) * 3 + (x - 1)x/2 * 5 = x^2 + x + 1. Para estimar o valor de p(2), basta substituir x por 2 na expressão de p(x), obtendo p(2) = 7. c) Utilizando o método de Newton: O polinômio que interpola os dados pode ser escrito como: p(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) onde f[xi] = f(xi) e f[xi, xj] = (f[xj] - f[xi])/(xj - xi) Substituindo os valores da tabela, temos: f[x0] = f(0) = 1 f[x0, x1] = (f(1) - f(0))/(1 - 0) = 2 f[x0, x1, x2] = [(f(2) - f(1))/(2 - 1) - (f(1) - f(0))/(1 - 0)]/(2 - 0) = 1 Portanto, o polinômio que interpola os dados é p(x) = 1 + 2(x - 0) + 1(x - 0)(x - 1) = x^2 + x + 1. Para estimar o valor de p(2), basta substituir x por 2 na expressão de p(x), obtendo p(2) = 7.