Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo e estimar o valor de ????(3,5) a) Utilizando o método de sis...

Para encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo e estimar o valor de ?(3,5), podemos utilizar o método de Lagrange ou o método de Newton. Tabela: | x | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---| | y | 1 | 2 | 3 | a) Utilizando o método de sistema linear: Para encontrar o polinômio de grau 2, podemos utilizar o método de sistema linear. Assim, temos: p(x) = ax² + bx + c Substituindo os valores da tabela na equação, temos: a(2)² + b(2) + c = 1 a(3)² + b(3) + c = 2 a(4)² + b(4) + c = 3 Resolvendo o sistema linear, encontramos: a = 1/2 b = -3/2 c = 2 Portanto, o polinômio que interpola os dados da tabela é: p(x) = 1/2x² - 3/2x + 2 Para estimar o valor de p(3,5), basta substituir x por 3,5 na equação: p(3,5) = 1/2(3,5)² - 3/2(3,5) + 2 p(3,5) = 0,25 b) Utilizando o método de Lagrange: Para encontrar o polinômio de grau 2 utilizando o método de Lagrange, podemos utilizar a seguinte fórmula: p(x) = L1(x)y1 + L2(x)y2 + L3(x)y3 Onde: L1(x) = (x - x2)(x - x3) / (x1 - x2)(x1 - x3) L2(x) = (x - x1)(x - x3) / (x2 - x1)(x2 - x3) L3(x) = (x - x1)(x - x2) / (x3 - x1)(x3 - x2) Substituindo os valores da tabela na fórmula, temos: p(x) = (x - 3)(x - 4) / (2 - 3)(2 - 4) * 1 + (x - 2)(x - 4) / (3 - 2)(3 - 4) * 2 + (x - 2)(x - 3) / (4 - 2)(4 - 3) * 3 Simplificando a equação, temos: p(x) = -0,5x² + 3,5x - 2 Para estimar o valor de p(3,5), basta substituir x por 3,5 na equação: p(3,5) = -0,5(3,5)² + 3,5(3,5) - 2 p(3,5) = 0,25 c) Utilizando o método de Newton: Para encontrar o polinômio de grau 2 utilizando o método de Newton, podemos utilizar a seguinte fórmula: p(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) Onde: f[x0] = y0 f[x0, x1] = (y1 - y0) / (x1 - x0) f[x0, x1, x2] = [(y2 - y1) / (x2 - x1) - (y1 - y0) / (x1 - x0)] / (x2 - x0) Substituindo os valores da tabela na fórmula, temos: p(x) = 1 + 1(x - 2) + 1/2(x - 2)(x - 3) Simplificando a equação, temos: p(x) = 1/2x² - 3/2x + 2 Para estimar o valor de p(3,5), basta substituir x por 3,5 na equação: p(3,5) = 1/2(3,5)² - 3/2(3,5) + 2 p(3,5) = 0,25 Portanto, o valor estimado de p(3,5) é 0,25.