Considere a função definida nos pontos, conforme a tabela. x 0,0 0,5 1 1,5 2,0 f(x) 0,0 1,1487 2,7183 4,9811 8.3...

Para encontrar o polinômio interpolador, podemos utilizar o método de Lagrange. a) Polinômio interpolador: L1(x) = ((x - 0,5)(x - 1)(x - 1,5)(x - 2))/((0 - 0,5)(0 - 1)(0 - 1,5)(0 - 2)) = -4,1667x³ + 19,7917x² - 29,1667x + 12
L2(x) = ((x - 0)(x - 1)(x - 1,5)(x - 2))/((0,5 - 0)(0,5 - 1)(0,5 - 1,5)(0,5 - 2)) = 20x³ - 87,5x² + 112,5x - 40
L3(x) = ((x - 0)(x - 0,5)(x - 1,5)(x - 2))/((1 - 0)(1 - 0,5)(1 - 1,5)(1 - 2)) = -25x³ + 137,5x² - 225x + 100
L4(x) = ((x - 0)(x - 0,5)(x - 1)(x - 1,5))/((2 - 0)(2 - 0,5)(2 - 1)(2 - 1,5)) = 8,3333x³ - 41,6667x² + 62,5x - 25
P(x) = f(0)L1(x) + f(0,5)L2(x) + f(1)L3(x) + f(1,5)L4(x)
P(x) = 0L1(x) + 1,1487L2(x) + 2,7183L3(x) + 4,9811L4(x)
P(x) = 0,0083x³ - 0,0625x² + 1,1483x
Para avaliar P(0,7), basta substituir x por 0,7 no polinômio interpolador: P(0,7) = 0,0083(0,7)³ - 0,0625(0,7)² + 1,1483(0,7) = 1,5369 Para estimar o erro, podemos utilizar o teorema do valor máximo de Lagrange: E(x) = (f^(4)(?) / 4!) * (x - 0)(x - 0,5)(x - 1)(x - 1,5)(x - 2)
Onde f^(4)(?) é a quarta derivada de f(x) e ? está no intervalo [0, 2]. Como não temos a função f(x), podemos utilizar o valor máximo da quarta derivada de uma função cúbica, que é 6. Assim, temos: E(0,7) = (6 / 4!) * (0,7 - 0)(0,7 - 0,5)(0,7 - 1)(0,7 - 1,5)(0,7 - 2)
E(0,7) = 0,0007 Portanto, P(0,7) = 1,5369 e o erro estimado é de 0,0007. b) Para estimar o valor de x tal que P(x) = 3,4531, podemos utilizar o método da bissecção. Para isso, precisamos encontrar dois valores a e b, tais que P(a) < 3,4531 e P(b) > 3,4531. Podemos escolher a = 1,5 e b = 2,0, pois P(1,5) = 3,0086 e P(2,0) = 4,9811. Em seguida, podemos calcular o valor médio c = (a + b) / 2 = 1,75 e avaliar P(c): P(c) = 0,0083(1,75)³ - 0,0625(1,75)² + 1,1483(1,75) = 3,9946 Como P(c) > 3,4531, sabemos que a raiz procurada está no intervalo [1,5; 1,75]. Podemos repetir o processo, escolhendo agora a = 1,5 e b = 1,75: c = (a + b) / 2 = 1,625 P(c) = 0,0083(1,625)³ - 0,0625(1,625)² + 1,1483(1,625) = 3,4965 Como P(c) está mais próximo de 3,4531 do que P(a), sabemos que a raiz procurada está no intervalo [1,5; 1,625]. Podemos repetir o processo quantas vezes forem necessárias, até atingir a precisão desejada. Para estimar o erro, podemos utilizar a fórmula do erro máximo: E(x) = (M / 4!) * (x - 0)(x - 0,5)(x - 1)(x - 1,5)(x - 2)
Onde M é o valor máximo da quinta derivada de P(x) no intervalo [1,5; 2,0]. Como não temos a função P(x), podemos utilizar o valor máximo da quinta derivada de uma função cúbica, que é 24. Assim, temos: E(c) = (24 / 4!) * (1,625 - 1,5)² * (1,625 - 1) * (1,625 - 1,5) * (1,625 - 2)
E(c) = 0,0002 Portanto, a raiz procurada é aproximadamente 1,625 e o erro estimado é de 0,0002.