Seja o plano Π definido pela equação x + y − z = 0. (a) Dado um ponto P = (a, b, c), determine o ponto Q ∈ Π tal que o vetor P −Q seja paralelo ...

(a) Para que o vetor P - Q seja paralelo ao vetor v = (1, 2, 1), é necessário que o vetor P - Q seja ortogonal ao vetor normal do plano Π, que é n = (1, 1, -1). Assim, temos que: P - Q = k * n, onde k é uma constante escalar. Substituindo as coordenadas do vetor normal e do ponto P, temos: (a, b, c) - Q = k * (1, 1, -1) Isolando Q, temos: Q = (a - k, b - k, c + k) Substituindo Q na equação do plano Π, temos: (a - k) + (b - k) - (c + k) = 0 Simplificando, temos: a + b - c = 2k Assim, podemos escolher qualquer valor para k e obter um ponto Q no plano Π que satisfaça a condição de ter o vetor P - Q paralelo ao vetor v. Por exemplo, se escolhermos k = (a + b - c)/2, teremos: Q = ((a + b)/2, (a + b)/2, (a + b)/2 - c) (b) Para encontrar uma base {u1, u2} para o plano Π, podemos escolher dois vetores linearmente independentes que estejam no plano. Uma opção é escolher os vetores: u1 = (1, -1, 0) e u2 = (0, 1, 1) Para verificar que esses vetores estão no plano Π, basta verificar que eles são ortogonais ao vetor normal do plano, que é n = (1, 1, -1). De fato, temos: u1 . n = (1, -1, 0) . (1, 1, -1) = 0 u2 . n = (0, 1, 1) . (1, 1, -1) = 0 Além disso, esses vetores são linearmente independentes, pois não são múltiplos um do outro. Portanto, {u1, u2} é uma base para o plano Π. (c) Para encontrar um vetor u que seja ortogonal a u1 e u2, podemos calcular o produto vetorial entre esses vetores. Temos: u1 x u2 = (1, -1, 0) x (0, 1, 1) = (-1, -1, 1) Assim, o vetor u = (-1, -1, 1) é ortogonal a u1 e u2. Para obter uma base B = {u1, u2, u} do espaço euclidiano R3, basta adicionar o vetor u à base {u1, u2} do plano Π. Portanto, uma opção de base para R3 é: B = {(1, -1, 0), (0, 1, 1), (-1, -1, 1)}