4- Seja subespaço vetorial e u=(1, 0, ,1,0) um vetor em . a) Encontre uma base ortogonal de W. b) Calcule .

a) Para encontrar uma base ortogonal de W, podemos utilizar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Começamos escolhendo um vetor qualquer que pertença a W, por exemplo, v1 = (1, 0, 1, 0). Em seguida, escolhemos outro vetor que não seja múltiplo escalar de v1 e subtraímos a projeção de v2 sobre v1, obtendo assim um vetor ortogonal a v1. Podemos escolher v2 = (0, 1, 0, 1) e calcular sua projeção sobre v1: projv1(v2) = ((v2.v1)/(v1.v1)) * v1 = ((0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0)/(1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0)) * (1, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0) Assim, v2' = v2 - projv1(v2) = (0, 1, 0, 1) - (0, 0, 0, 0) = (0, 1, 0, 1), que é ortogonal a v1. Portanto, uma base ortogonal de W é dada por {v1, v2'} = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}. b) Para calcular , basta fazer o produto interno entre u e v2': = (1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1) + (0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0) = 0 + 0 = 0 Portanto, = 0.