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Qual é a massa do sólido S delimitado superiormente pelo plano de equação x + 2y – 2z + 20 = 0, inferiormente pelo plano coordenado xy, em que z = ...

Qual é a massa do sólido S delimitado superiormente pelo plano de equação x + 2y – 2z + 20 = 0, inferiormente pelo plano coordenado xy, em que z = 0, e limitado na região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2, sabendo que a função densidade associada é ρ(x,y,z) = x?


a) 34/3.
b) 13.
c) 25/2.
d) 20/3.
e) 18.

Essa pergunta também está no material:

Cálculo I Universidade PaulistaUniversidade Paulista

💡 1 Resposta

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Para calcular a massa do sólido S, precisamos integrar a função densidade ρ(x,y,z) = x sobre o sólido S. O sólido S é delimitado superiormente pelo plano x + 2y - 2z + 20 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy, em que z = 0. Além disso, é limitado na região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Podemos escrever o sólido S como S = {(x,y,z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ (x + 2y + 20)/2}. Assim, a massa do sólido S é dada por: M = ∭S ρ(x,y,z) dV onde dV = dxdydz é o elemento de volume. Substituindo a função densidade, temos: M = ∭S x dV Integrando em relação a z, temos: M = ∬R ∫0^(x+2y+20)/2 x dz dA onde R é a região do plano xy delimitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Integrando em relação a z, temos: M = ∬R x(x + 2y + 20)/2 dA Integrando em relação a y, temos: M = ∫0^1 ∫0^2 x(x + 2y + 20)/2 dy dx M = ∫0^1 x(2x + 8) dx M = ∫0^1 (2x^2 + 8x) dx M = [2/3 x^3 + 4x^2]_0^1 M = 2/3 + 4 = 14/3 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 34/3.

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