Calcule as derivadas das seguintes funções (a) f(x) = xx−1 (0.5) (b) g(t) = 3t2 sen(5t) t5 − 7 (0.7) (c) q(y) = arcsen ( √ 2y − 1 ) (0.6) (d) h...

(a) f(x) = xx−1 Para calcular a derivada de f(x), usamos a regra do produto e a regra da cadeia: f'(x) = (x^x-1)' * x + x^x-1 * (x-1)' Agora, precisamos calcular as derivadas de cada termo: (x^x-1)' = x^x-1 * (ln(x))' Usando a regra da cadeia, temos: (ln(x))' = 1/x Substituindo na expressão anterior, temos: (x^x-1)' = x^x-1 * 1/x = x^x-2 (x-1)' = 1 Substituindo na expressão inicial, temos: f'(x) = x^x-2 * x + x^x-1 * 1 Simplificando, temos: f'(x) = x^x-1 * (x-1) + x^x-1 (b) g(t) = (3t^2 * sen(5t)) / (t^5 - 7) Para calcular a derivada de g(t), usamos a regra do quociente e a regra da cadeia: g'(t) = [(3t^2 * sen(5t))' * (t^5 - 7) - (3t^2 * sen(5t)) * (t^5 - 7)'] / (t^5 - 7)^2 Agora, precisamos calcular as derivadas de cada termo: (3t^2 * sen(5t))' = 6t * sen(5t) + 15t^2 * cos(5t) (t^5 - 7)' = 5t^4 Substituindo na expressão anterior, temos: g'(t) = [(6t * sen(5t) + 15t^2 * cos(5t)) * (t^5 - 7) - (3t^2 * sen(5t)) * 5t^4] / (t^5 - 7)^2 Simplificando, temos: g'(t) = [6t * sen(5t) + 15t^2 * cos(5t) - 15t^2 * sen(5t)] / (t^5 - 7)^2 g'(t) = [6t * sen(5t) + 15t^2 * (cos(5t) - sen(5t))] / (t^5 - 7)^2 (c) q(y) = arcsen(√(2y - 1)) Para calcular a derivada de q(y), usamos a regra da cadeia: q'(y) = (arcsen(u))' * u' Onde u = √(2y - 1) Agora, precisamos calcular as derivadas de cada termo: (arcsen(u))' = 1 / √(1 - u^2) u' = 1 / (2 * √(2y - 1)) Substituindo na expressão anterior, temos: q'(y) = (1 / √(1 - u^2)) * (1 / (2 * √(2y - 1))) Simplificando, temos: q'(y) = 1 / (2 * (2y - 1) * √(1 - (2y - 1))) q'(y) = 1 / (2 * (2y - 1) * √(3 - 2y)) (d) h(z) = cos((z^3 + 1) * tan(z) / (z^2 - 1)) Para calcular a derivada de h(z), usamos a regra da cadeia: h'(z) = (cos(u))' * u' Onde u = (z^3 + 1) * tan(z) / (z^2 - 1) Agora, precisamos calcular as derivadas de cada termo: (cos(u))' = -sen(u) u' = [(3z^2 + tan(z) * (z^3 + 1)) * (z^2 - 1) - (z^3 + 1) * 2z] / (z^2 - 1)^2 * cos(u) Substituindo na expressão anterior, temos: h'(z) = -sen(u) * [(3z^2 + tan(z) * (z^3 + 1)) * (z^2 - 1) - (z^3 + 1) * 2z] / (z^2 - 1)^2 * cos(u) Simplificando, temos: h'(z) = -sen((z^3 + 1) * tan(z) / (z^2 - 1)) * [(3z^2 + tan(z) * (z^3 + 1)) * (z^2 - 1) - (z^3 + 1) * 2z] / (z^2 - 1)^2 * cos((z^3 + 1) * tan(z) / (z^2 - 1))