Seja R a região que está entre as curvas y = sen x e y = cos x no intervalo [0, π/4]. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos R em tor...

Para determinar o volume do sólido obtido ao rotacionar a região R em torno da reta y = -1, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Método dos discos: - Para cada valor de x no intervalo [0, π/4], a distância entre a reta y = -1 e a curva y = sen x é dada por 1 + sen x. - Assim, o raio do disco é dado por r = 1 + sen x. - A área do disco é dada por A = πr². - O volume do sólido é dado pela integral do produto da área do disco pela espessura dx, no intervalo [0, π/4]: V = ∫[0,π/4] π(1+sen x)² dx Método das cascas: - Para cada valor de x no intervalo [0, π/4], a distância entre a reta y = -1 e a curva y = cos x é dada por 1 + cos x. - Assim, o raio da casca é dado por r = 1 + cos x. - A área da casca é dada por A = 2πr * dx. - O volume do sólido é dado pela integral do produto da área da casca pela espessura dx, no intervalo [0, π/4]: V = ∫[0,π/4] 2π(1+cos x) dx Resolvendo as integrais, obtemos: V = π/2 + 2π/3 = 7π/6 Portanto, o volume do sólido obtido ao rotacionar a região R em torno da reta y = -1 é 7π/6.