Seja R a região limitada pelos gráficos das funções y = x2 e y = x+ 2. (a) Calcule o volume do sólido S obtido rotacionando a região R em tor...

(a) Para calcular o volume do sólido S obtido pela rotação da região R em torno do eixo x usando o método de discos circulares, podemos integrar a área de cada disco. A área de cada disco é dada por πy², onde y é a distância do ponto ao eixo x. Como estamos integrando em relação a x, precisamos expressar y em termos de x. Temos que y = x² e y = x + 2, então a distância do ponto ao eixo x é dada por y - (x² + x + 2). Assim, o volume do sólido S é dado por: V = ∫[0,2] π(y - (x² + x + 2))² dx Resolvendo a integral, obtemos: V = 64π/15 (b) Para calcular o volume do sólido S1 obtido pela rotação da região R em torno da reta x = -2 usando o método de cascas cilíndricas, podemos integrar a área de cada casca cilíndrica. A área de cada casca é dada por 2πrh, onde r é a distância do ponto à reta x = -2 e h é a espessura da casca. Como estamos integrando em relação a x, precisamos expressar r e h em termos de x. Temos que r = 2 + x e h = x² - (x + 2), então a área de cada casca é dada por: 2π(2 + x)(x² - (x + 2)) Assim, o volume do sólido S1 é dado por: V = ∫[0,2] 2π(2 + x)(x² - (x + 2)) dx Resolvendo a integral, obtemos: V = 32π/3