Questão resolvida - Um recipiente cilíndrico, com tampa, deve ter a capacidade de 3000 cm³. O custo do material usado para a base e a tampa do recipiente é de 5 centavos por cm² e o custo ... - Cálcul

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Um recipiente cilíndrico, com tampa, deve ter a capacidade de 3000 cm³. O custo do 
material usado para a base e a tampa do recipiente é de 5 centavos por cm² e o custo 
do material usado para a lateral é de 2 centavos por cm². Se não há perda de 
material, determine as dimensões R (raio) e H (altura) que minimizem o custo do 
material.
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso definir uma função que represente a área superfícial do recipiente;
A = A + A + AS L b t
 
A área da base A é igual a área da tampa Ab t
 
A = A + A + A A = A + 2AS L b b → S L b
Agora, defininmos uma função custo multiplicando a base pelo valor do material que será C
usado na base e mulplicamos a área lateral pelo valor do material que será usado na lateral;
C = 2 ⋅A + 5 ⋅ 2A C = 2A + 10AL b → L b
 
Temos que : A = 𝜋R e A = 2𝜋Rh, substituindo;b
2
L
 
C = 2 ⋅ 2𝜋Rh + 10𝜋R C = 4𝜋Rh + 10𝜋R2 → 2
 
Agora, vamos usar o volume do recipiente para relacionar R e h;
 
V = A ⋅ h V = 𝜋R ⋅ hb →
2
 
Como o volume do recipiente deve ser de 3000 cm³, fica :
 
3000 = 𝜋R ⋅ h h =2 →
3000 
 𝜋R2
 
Substituindo a expressão encontrada para h em C, temos :
 
C = 4𝜋R ⋅ + 10𝜋R C = + 10𝜋R
3000 
 𝜋R2
2
→
12000 
 R
2
 
Para achar os pontos críticos de C, devemos fazer sua derivada C' e igualar a zero :
 
 
 
C = + 10𝜋R C = 12000R + 10𝜋R C' = -1 ⋅ 12000 ⋅R + 2 ⋅ 10𝜋R
12000 
 R
2
→
-1 2
→
-2
 
C' = - + 20𝜋R
12000
R2
 
C' = 0 - + 20𝜋R = 0 - = - 20𝜋R - = - 20𝜋R × -1→
12000
R2
→
12000
R2
→
12000
R2
( )
 
= 20𝜋R 12000 = 20𝜋R ⋅R 20𝜋R = 12000 R = R ≅ 191
12000
R2
→
2
→
3
→
3 12000
20𝜋
→
3
 
R = R = 5, 76 cm191 →
 
Se R = -1, C = + 10𝜋 -1 < 0 Não é preciso fazer todo o calculo!
12000 
 -1
( )2 → ( )
 
Se R = 10, C = + 10𝜋 10 > 0 Não é preciso fazer todo o calculo! 
12000 
 10
( )2 → ( )
Logo, o valor mínimo se dá quando R = 8, 43 cm, substituindo na relação encontrada com
o volume do recipiente, encontramos o valor mínimo para h;
 
h = h = h = 28, 78 cm
3000 
 𝜋R2
→
3000 
 𝜋 5, 76( )2
→
 
Assim, as dimensões de R e h para um menor custo de fabricação são : 
 
 R = 5, 76 cm e h = 28, 78 cm
 
 
3
(Resposta )