ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantid...

Para minimizar a quantidade de papelão utilizado, é necessário encontrar as dimensões da caixa que minimizem a área total da superfície. Sejam x, y e z as dimensões da caixa. Temos que o volume da caixa é dado por: V = xyz = 32.000 cm³ A área total da superfície é dada por: A = 2xy + 2xz + 2yz Substituindo o valor de z em função de x e y na equação do volume, temos: z = V/xy Substituindo na equação da área total, temos: A = 2xy + 2x(V/xy) + 2y(V/xy) Simplificando, temos: A = 2xy + 2V/x + 2V/y Para minimizar a área total, é necessário encontrar o ponto crítico da função A(x,y). Para isso, calculamos as derivadas parciais de A em relação a x e y, igualamos a zero e resolvemos o sistema de equações: ∂A/∂x = 2y - 2V/x² = 0 ∂A/∂y = 2x - 2V/y² = 0 Resolvendo o sistema, obtemos: x = y = (V/2)^(1/3) Substituindo na equação do volume, temos: z = V/xy = (V/2)^(1/3) Portanto, as dimensões aproximadas da caixa que minimizam a quantidade de papelão utilizado são: x ≈ y ≈ 21,54 cm z ≈ 8,86 cm