5a QUESTÃO: (2,0 pontos) Dados valores reais não-nulos a e b, prove que as hipérboles xy = a2 e x2 − y2 = b2 interceptam-se formando um ângulo reto...

Para provar que as hipérboles xy = a² e x² - y² = b² interceptam-se formando um ângulo reto, podemos utilizar a definição de ângulo entre duas curvas. O ângulo entre duas curvas é dado por: θ = arctg |(f1'(x) * f2'(x) + f1''(x) * f2''(x)) / (1 + (f1'(x))^2) * (1 + (f2'(x))^2)| Onde f1(x) e f2(x) são as equações das curvas. Substituindo as equações das hipérboles, temos: f1(x) = xy = a² f2(x) = x² - y² = b² Calculando as derivadas, temos: f1'(x) = y' f1''(x) = y'' f2'(x) = 2x - 2y * y' f2''(x) = -2y' - 2y * y'' Substituindo na fórmula do ângulo, temos: θ = arctg |(y' * (2x - 2y * y') + y'' * (x² - y²)) / (1 + (y')²) * (1 + (2x - 2y * y')²)| Para que as hipérboles se interceptem em um ângulo reto, o ângulo entre elas deve ser igual a 90 graus. Portanto, temos que provar que: θ = 90° Substituindo as derivadas na fórmula do ângulo e simplificando, temos: θ = arctg |(2a²b²x) / (a^4 - b^4)| Para que θ = 90°, a tangente do ângulo deve ser infinita ou nula. Portanto, temos duas possibilidades: 1) 2a²b²x / (a^4 - b^4) = ∞ Isso ocorre quando x = ± a² / √2 2) 2a²b²x / (a^4 - b^4) = 0 Isso ocorre quando x = 0 Portanto, as hipérboles xy = a² e x² - y² = b² interceptam-se formando um ângulo reto nos pontos (a² / √2, a² / √2), (-a² / √2, -a² / √2) e (0, ± b).