Calcule as integrais abaixo: (a) ∫ 2 1 lnx x dx ; (b) ∫ 1 4 + x2 dx ; (c) ∫ x2 ln x dx . (a) (b) (c)

(a) Para calcular a integral ∫ln(x)/x dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = ln(x) e dv = 1/x dx, temos du = 1/x dx e v = ln|x|. Então, temos: ∫ln(x)/x dx = ln(x)ln|x| - ∫(1/x)ln|x| dx A segunda integral pode ser resolvida novamente por partes, fazendo u = ln|x| e dv = 1/x dx. Então, temos du = (1/x) dx e v = ln|x|. Assim, temos: ∫(1/x)ln|x| dx = ln|x|ln|x| - ∫(1/x) dx = ln|x|ln|x| - ln|x| + C Portanto, a solução para a integral ∫ln(x)/x dx é: ∫ln(x)/x dx = ln(x)ln|x| - ln|x|ln|x| + ln|x| + C (b) Para calcular a integral ∫1/(4 + x^2) dx, podemos fazer a substituição trigonométrica x = 2tan(t), dx = 2sec^2(t) dt. Então, temos: ∫1/(4 + x^2) dx = ∫1/(4 + 4tan^2(t)) 2sec^2(t) dt = ∫cos^2(t)/(2 + 2sin^2(t)) dt Fazendo a substituição u = sin(t), du = cos(t) dt, temos: ∫cos^2(t)/(2 + 2sin^2(t)) dt = ∫du/(2 + 2u^2) = (1/2) ∫du/(1 + u^2) = (1/2) arctan(u) + C Substituindo de volta u = sin(t), temos: ∫1/(4 + x^2) dx = (1/2) arctan(x/2) + C (c) Para calcular a integral ∫x^2 ln(x) dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = ln(x), dv = x^2 dx, temos du = (1/x) dx e v = (1/3) x^3. Então, temos: ∫x^2 ln(x) dx = (1/3) x^3 ln(x) - ∫(1/3) x^2 dx = (1/3) x^3 ln(x) - (1/9) x^3 + C Portanto, a solução para a integral ∫x^2 ln(x) dx é: ∫x^2 ln(x) dx = (1/3) x^3 ln(x) - (1/9) x^3 + C