Decida se a integral ∫ ∞−∞ x2 / (x6 + 9) dx é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule seu valor.

Para decidir se a integral ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx é convergente ou divergente, podemos usar o critério de convergência de integrais impróprias de Cauchy. Para isso, vamos calcular a integral ∫ a^b x² / (x⁶ + 9) dx, onde a e b são números reais finitos. Fazendo a substituição u = x³, temos: ∫ a^b x² / (x⁶ + 9) dx = (1/3) ∫ a^b 1 / (u² + 9) du Usando a propriedade da linearidade da integral, podemos separar a integral em duas partes: (1/3) ∫ a^b 1 / (u² + 9) du = (1/3) ∫ a^0 1 / (u² + 9) du + (1/3) ∫ 0^b 1 / (u² + 9) du Para a primeira integral, temos: (1/3) ∫ a^0 1 / (u² + 9) du = (1/3) [arctan(0) - arctan(a/3)] = -(1/3) arctan(a/3) Para a segunda integral, temos: (1/3) ∫ 0^b 1 / (u² + 9) du = (1/3) [arctan(b/3) - arctan(0)] = (1/3) arctan(b/3) Assim, temos: ∫ a^b x² / (x⁶ + 9) dx = -(1/3) arctan(a/3) + (1/3) arctan(b/3) Para decidir se a integral ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx é convergente ou divergente, precisamos verificar se o limite dessa integral quando a e b tendem ao infinito existe e é finito. Podemos observar que a função x² / (x⁶ + 9) é sempre positiva e decrescente para valores de x maiores que 1. Assim, podemos usar o critério de comparação com uma integral convergente para verificar a convergência da integral dada. Podemos comparar a integral dada com a integral ∫ ∞−∞ 1 / x⁴ dx, que é convergente. Para isso, podemos usar o critério de comparação direta: se existir uma constante positiva M tal que x² / (x⁶ + 9) ≤ M / x⁴ para todo x maior que 1, então as integrais ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx e ∫ ∞−∞ 1 / x⁴ dx têm o mesmo comportamento. Podemos observar que: x² / (x⁶ + 9) ≤ 1 / (3x²) Assim, podemos escolher M = 1/3 e concluir que a integral ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx é convergente. Para calcular o valor da integral, podemos usar o resultado obtido anteriormente: ∫ a^b x² / (x⁶ + 9) dx = -(1/3) arctan(a/3) + (1/3) arctan(b/3) Tomando o limite quando a e b tendem ao infinito, temos: ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx = lim a,b → ∞ [-(1/3) arctan(a/3) + (1/3) arctan(b/3)] Como a função arctan(x) tende a π/2 quando x tende ao infinito, temos: ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx = lim a,b → ∞ [-(1/3) arctan(a/3) + (1/3) arctan(b/3)] = (1/3) [π/2 - (-π/2)] = π/3 Portanto, a integral ∫ ∞−∞ x² / (x⁶ + 9) dx é convergente e seu valor é π/3.