determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. k=2 até infinito k^2/k^2-1

Para determinar se a série é convergente ou divergente, podemos utilizar o teste da razão. Calculando o limite da razão entre o termo geral a(n) e o termo anterior a(n-1), temos: lim (n → ∞) |(k^2/(k^2-1))/((k-1)^2/((k-1)^2-1))| lim (n → ∞) |(k^2/(k^2-1))*((k-1)^2-1)/(k-1)^2| lim (n → ∞) |(k^2/(k^2-1))*((k^2-2k+1-1)/(k^2-2k+1))| lim (n → ∞) |(k^2/(k^2-1))*((k^2-2k)/(k^2-2k+1))| lim (n → ∞) |(k^2/(k^2-1))*((k(k-2))/(k^2-2k+1))| lim (n → ∞) |(k(k-2)/(k+1)^2)| O limite acima é igual a 1, portanto, o teste da razão é inconclusivo. Podemos tentar utilizar o teste da comparação, comparando a série dada com a série harmônica: k=2 até infinito k^2/k^2-1 > k=2 até infinito 1/(k-1) A série harmônica é divergente, portanto, a série dada também é divergente. Portanto, a série é divergente e não possui soma.