Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = 2x² e y = x³.

Para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = 2x² e y = x³, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Método dos discos: - Integrar de x = 0 a x = 1 (ponto de interseção das curvas) a área de um disco de raio y (distância do eixo x até a curva y) e espessura dx (infinitesimal): V = ∫[0,1] πy² dx - Substituir y pelas equações das curvas: V = ∫[0,1] π(2x²)² dx - ∫[0,1] π(x³)² dx - Resolver as integrais: V = 8π/15 - π/7 V = (40π - 3π)/105 V = 37π/105 Método das cascas cilíndricas: - Integrar de x = 0 a x = 1 (ponto de interseção das curvas) a área da superfície lateral de um cilindro de altura x, raio externo y = x³ e espessura dx (infinitesimal): V = ∫[0,1] 2πx³(2x² - x³) dx - Resolver a integral: V = 2π ∫[0,1] (2x^5 - x^6) dx V = 2π [(2/6)x^6 - (1/7)x^7] [0,1] V = 2π [(1/3) - (1/7)] V = (8π - 6π)/21 V = 2π/21 Portanto, o volume do sólido é de 37π/105 ou 2π/21, dependendo do método utilizado.