Considere as seguintes funções: a) f(x) = ln(√(x^2 - 1)/(x^2 + 5)); b) y = tg(cos(sen(2πx^2))); c) y = (3x^2 + x)(2x - 1). a) Escreva o domínio de ...

a) Domínio da função a: Para que a função ln seja definida, o argumento deve ser maior que zero. Além disso, o denominador da fração não pode ser igual a zero. Portanto, temos as seguintes restrições: x^2 - 1 > 0 => x < -1 ou x > 1 x^2 + 5 ≠ 0 => x ≠ √-5 ou x ≠ -√-5 Assim, o domínio da função a é (-∞, -√-5) U (-√-5, -1) U (-1, 1) U (1, ∞). b) Regra da cadeia para a função b: Seja u(x) = cos(sen(2πx^2)) e v(x) = tg(x). Então, a função b pode ser escrita como y = tg(u(x)). Usando a regra da cadeia, temos: y' = (tg(u(x)))' = sec^2(u(x)) * u'(x) = sec^2(cos(sen(2πx^2))) * (-sin(sen(2πx^2))) * (2πx) c) Derivadas das funções: c.1) y = (3x^2 + x)(2x - 1) Aplicando a regra do produto, temos: y' = (3x^2 + x)'(2x - 1) + (3x^2 + x)(2x - 1)' y' = (6x + 1)(2x - 1) + (3x^2 + x) * 2 y' = 12x^2 - 4x + 2x - 1 + 6x^2 + 2x y' = 18x^2 - 2x - 1 c.2) f(x) = ln(√(x^2 - 1)/(x^2 + 5)) Aplicando a regra da cadeia, temos: f'(x) = 1/(√(x^2 - 1)/(x^2 + 5)) * (1/2) * (x^2 - 1)^(-1/2) * (2x) * (x^2 + 5) - (x^2 - 1)/(x^2 + 5)^2 * (2x) f'(x) = (x^2 + 5)/(x^2 - 1) - 2x(x^2 - 1)/(x^2 + 5)^2 f'(x) = [(x^2 + 5)(x^2 + 5) - 2x^2(x^2 - 1)]/(x^2 - 1)(x^2 + 5)^2 f'(x) = (8x^4 + 20x^2 - 25)/(x^2 - 1)(x^2 + 5)^2 c.3) y = tg(cos(sen(2πx^2))) Usando a regra da cadeia, temos: y' = sec^2(cos(sen(2πx^2))) * (-sin(sen(2πx^2))) * cos'(sen(2πx^2)) * (2πx) y' = sec^2(cos(sen(2πx^2))) * (-sin(sen(2πx^2))) * (-sin(2πx^2)) * (2πx) y' = 2πx * sin(2πx^2) / cos^2(sen(2πx^2))