Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1,5 mís. Um holofote localizado no chão a 6 m do caminho é mantido focalizado no home...

Podemos resolver esse problema utilizando a regra da cadeia da derivada. Primeiro, vamos definir as variáveis: x = distância do homem ao ponto mais próximo do caminho da luz y = distância do holofote ao ponto mais próximo do caminho da luz θ = ângulo entre o holofote e o ponto mais próximo do caminho da luz A partir daí, podemos escrever a equação: y² + x² = 6² Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo, temos: 2y(dy/dt) + 2x(dx/dt) = 0 Dividindo ambos os lados por 2y, temos: (dy/dt) = -(x/y)(dx/dt) Agora, precisamos encontrar dx/dt quando x = 8 e y = 10 (usando a equação acima). Para isso, precisamos encontrar θ em função de x: θ = arctan(x/y) Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo, temos: dθ/dt = (1/(1+(x/y)²))(1/y)(dx/dt) Substituindo x = 8 e y = 10, temos: dθ/dt = (1/101)(1/10)(dx/dt) Agora, precisamos encontrar dx/dt quando x = 8 e y = 10. Usando a equação y² + x² = 6², podemos encontrar y quando x = 8: y² + 8² = 6² y = 2√5 Substituindo x = 8 e y = 2√5 na equação dy/dt = -(x/y)(dx/dt), temos: 1,5 = -(8/(2√5))(dx/dt) dx/dt = -0,375 m/s Substituindo dx/dt = -0,375 m/s e y = 10 na equação dθ/dt = (1/101)(1/10)(dx/dt), temos: dθ/dt = -0,00037 rad/s Portanto, a taxa na qual o holofote está girando quando o homem está a 8 m do ponto do caminho mais próximo da luz é de -0,00037 rad/s.