29. URCA/2015.1 Assinale a alternativa que contém todos os valores de (−1+√3⋅i)^(3/2). A) −3√3 e 3√3 B) −2√2 e 2√2 C) −3√2 e 3√2 D) −2√3 e 2√3 E...

29. URCA/2015.1 Assinale a alternativa que contém todos os valores de (−1+√3⋅i)^(3/2).

A) −3√3 e 3√3
B) −2√2 e 2√2
C) −3√2 e 3√2
D) −2√3 e 2√3
E) −√3 e √3

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Portuguesando

28/11/2023

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Ed

28.11.2023

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula de De Moivre, que é dada por: (cos θ + i sen θ)^n = cos(nθ) + i sen(nθ) Vamos começar transformando o número complexo (-1 + √3i) em coordenadas polares. Temos: r = √((-1)^2 + (√3)^2) = 2 θ = arctg(√3/-1) = -π/3 Assim, temos que (-1 + √3i) = 2(cos(-π/3) + i sen(-π/3)). Agora, vamos elevar esse número complexo a potência 3/2. Temos: (-1 + √3i)^(3/2) = [2(cos(-π/3) + i sen(-π/3))]^(3/2) = 2^(3/2)[cos(3(-π/3)/2) + i sen(3(-π/3)/2)] = 2^(3/2)[cos(-3π/4) + i sen(-3π/4)] = 2^(3/2)[-√2/2 - i √2/2] Assim, os valores de (-1 + √3i)^(3/2) são -2^(3/2)√2/2 e 2^(3/2)√2/2. A alternativa que contém esses valores é a letra D.

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